Pgcd

[Bertrand Hamant]

Bonsoir


On me demande de trouver le PGCD de n+1 et n(2n+1)

Je trouve 1 , ils sont premiers entre eux mais pour le démontrer je ne vois comment je pourrais faire
Merci

[Anonyme]

décompose ton PGCD , pour le simplifier après .......

[Bertrand Hamant]

Comment décomposer le pgcd


Puis je dire que 1 est un diviseur commun de n+1 et n(2n+1)

je sais pas

[Chimerade]

Bonsoir


On me demande de trouver le PGCD de n+1 et n(2n+1)

Je trouve 1 , ils sont premiers entre eux mais pour le démontrer je ne vois comment je pourrais faire
Merci

n(2n+1)=2n²+n=(n+1)(2n-1)+1
Donc : 1=n(2n+1)-(n+1)(2n-1)

Si un nombre divise n(2n+1) et aussi (n+1), alors il divise 1. Et 1 divise effectivement n(2n+1) et (n+1) donc 1 est diviseur commun et comme tout diviseur commun divise celui-là, c'est le PGCD !

[Bertrand Hamant]

Y aurait t-il une autre méthode parce qu'en fait il faut y penser vraiment pour

pour multiplier n+1 par (2n-1) + 1

comment avez vous fait

[Chimerade]

Y aurait t-il une autre méthode parce qu'en fait il faut y penser vraiment pour

pour multiplier n+1 par (2n-1) + 1

comment avez vous fait

Je n'ai pas multiplié (n+1) par (2n-1) ! J'ai divisé (2n²+n) par (n+1)

Je prends le problème comme un problème à 3 inconnues a,b,c

2n²+n=(n+1)(an+b)+c

2n²+n=an²+n(a+b)+b+c

Donc : a=2
a+b=1 et puisque a=2, b=-1
b+c=0 et puisque b=-1 c=1
..tout simplement :
Par conséquent : 2n²+n = (n+1)(2n-1)+1

C'est purement et simlement la méthode d'Euclide pour trouver le PGCD.

Pour trouver le PGCD de 136 et de 51 Euclide fait la division Euclidienne de 136 par 51 : il trouve :

136 = 2*51 + 34

En écrivant 34 = 136 - 2 * 51, il dit que tout diviseur commun à 136 et à 51 est forcément un diviseur de 34, donc un diviseur commun à 34 et 51.

Ensuite il divise 51 par 34, etc...

Eh bien pour les poynôme c'est pareil !