Pgcd

[PhilT]

Bonjour

je cherche quel est le pgcd de (n²;2n+1) .

Je remarque que n² = (n+1)² - (2n+1)

J'essaye d'appliquer le tm de Bezout pour éventuellement conclure que quel que soit n, ces deux nombres sont premiers entre eux.

Je ne trouve rien de probant.

Merci par avance pour votre aide

[zygomatique]

salut

pgcd (a, b) = pgcd (a + b, b) ...

[chan79]

soit d le pgcd de n² et 2n+1
si d était différent de 1, il aurait un diviseur premier p.
p diviserait n² donc n
p diviserait n²+(2n+1) donc (n+1)² et (n+1)
p diviserait (n+1)-n=1
d est donc égal à 1 quel que soit n

[PhilT]

Salut Zygomatique

Donc pgcd(n²;2n+1) = pgcd (2n+1:n²) = pgcd((n+1)²;n²)
par une recherche internet, je trouve la propriété : pgcd((n+1)²;n²) = pgcd((n+1);n)²
sauf que je ne sais pas la démontrer

en l'admettant, je sais (Bezout) que pgcd((n+1);n) = 1

Conclusion : pgcd(n²;2n+1) = 1² = 1 ; les deux nombres sont premiers entre eux, et leur ppcm est égal à leur produit.

Mais ; comment démontrer pgcd((n+1)²;n²) = pgcd((n+1);n)² ?

Merci de me dire, ou si toi ou qqn connaît un lien bien pédagogique ; merci par avance

[PhilT]

>>Chan : je n'avais pas vu ta réponse quand je répondais à Zygomatique ; merci

[zygomatique]

si d divise a et b alors divise et

mais 24 ne divise ni 12 ni 36 et pourtant 24 divise 12^2 et 36^2

ouais bof ....

à mon avis la propriété que tu cites n'est pas toujours vraie ....

mais a et b sont premiers entre eux a^2 et b^2 sont premiers entre eux est vraie ....

[zygomatique]

soit d = pgcd(a, b)

donc a = dm et b = dn avec pgcd(m, n) = 1



après on prend l'idée de chan79 ::

si p premier divise m^2 alors p divise m ... et idem pour n

or pgcd(m, n) = 1 ....

donc

....

[bolza]

Bonsoir,

ou alors tu peux essayer de trouver deux entiers a et b tels que

a * n² + b * (2n + 1) = 1


Réfléchir sur le degré des polynômes en n, devrait pouvoir t'aider à trouver a et b.
et puis connaître ses identités remarquables devrait pouvoir aider aussi :lol3:

[PhilT]

merci Zygomatique

[PhilT]

Bonsoir,

ou alors tu peux essayer de trouver deux entiers a et b tels que

a * n² + b * (2n + 1) = 1


Réfléchir sur le degré des polynômes en n, devrait pouvoir t'aider à trouver a et b.
et puis connaître ses identités remarquables devrait pouvoir aider aussi :lol3:

C'était ma première idée, mais franchement je ne vois pas...même en notant (cf mon premier message : "Je remarque que n² = (n+1)² - (2n+1)"

Faut-il nécessairement que b = 1 ?

[bolza]

Faut-il nécessairement que b = 1 ?

Non, justement tu as la somme de deux polynômes un premier est a * n² (de degré 2) et
l'autre b * (2n +1) comme la somme est le polynôme constant égal à 1, les termes en n² doivent se simplifier, donc b est forcément un polynôme en n de degré 1 et donc de la forme (kn + c) ...

[PhilT]

Non, justement tu as la somme de deux polynômes un premier est a * n² (de degré 2) et
l'autre b * (2n +1) comme la somme est le polynôme constant égal à 1, les termes en n² doivent se simplifier, donc b est forcément un polynôme en n de degré 1 et donc de la forme (kn + c) ...

D'accord!
Donc par identification
a = 4
b = -2n + 1, avec , donc entier.

Merci bcp