Pgcd

[Blass]

salut, j'suis en train de faire des révisions, et je bloque sur un exo, pourriez vous m'aider ?


Soit (Un) la suite numérique définie par : U0 = 0 et Un+1 = 2Un +1 pour tout n N

Montrer que pour tout entier naturel n, Un = 2^n - 1 ça c'est fait

Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que n supérieur ou égal à p, Un =Up (Un;)p +1)+Un;)p. fait aussi

La notation pgcd(a ; b) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand
diviseur commun à deux entiers naturels a et b .

Montrer pour n supérieur ou égal à p l’égalité : pgcd(Un ,Up)= pgcd(Up, Un;)p). fait

Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que :
pgcd(Un, Up) = Upgcd(n ; p). là j'ai un peu de mal

Déterminer le nombre : pgcd(U2005, U15). c'est fait mais j'aimerais avoir confirmation : j'ai trouvé 31

merci

[Mikou]

'Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que :
pgcd(Un, Up) = Upgcd(n ; p). là j'ai un peu de mal' ca n'a pas grand sens a mes yeux, tu peux expliquer un peu mieu, merci.

[Blass]

oui c'est vrai que c'est pas très clair en lisant
en fait "Upgcd(n;p)" ça veut dire U indice pgcd(n;p)

je ne trouve pas comment l'écrire réellement en indice, j'ai cherché dans la faq, mais je ne vois pas où c'est.

merci

[Mikou]

Il suffit de montrer que si 2 nb a,b sont premiers entres eux alors 2^a -1 et 2^b-1 le sont aussi

[Mikou]

premierement on a pgcd(Un,Up)= pgcd(Up, U(n-p))
on a donc p = p'*d et (n-p)= (n-p)'*d ou p' et (n-p)' sont premier entres eux. On donne leur image par la fonction U, on a donc
et On utilise la formule du binome de newton, puis on simplifie le facteur de droite en utilisant la formule des suite geo, et on regarde mon post precedent

[Blass]

premierement on a pgcd(Un,Up)= pgcd(Up, U(n-p))

oui je comprends, mais :

on a donc p = p'*d et (n-p)= (n-p)'*d ou p' et (n-p)' sont premier entres eux.

je comprends pas pourquoi tu dis ça, parce que et sont des nombres, donc pourquoi tu prends seulement les indices ?

ensuite je ne connais pas la formule de Newton, peux tu m'expliquer ?

merci

[Mikou]

et
ce qui est vrai nous somme daccord
on a donc idem pour
dans
tu reconnais 1+a+a²+...a^n tu sais simplifier cette somme
on a donc en appliquant la formule soit et

[Mikou]

je saute les calculs mais on obtient que
ou d est le pgcd de n;p et {n=n'*d;p=p'*d} si tu montres que si deux entiers sont premiers entres eux alors leurs images par 2^k-1 le sont aussi tu peux conclure que le pgcd de Un et Up = 2^d-1 soit bel et bien

[Blass]

au risque de paraître niais, je t'avoue que quelque chose m'échappe :

si je pose j'ai n=d*n' et p=d*p' avec n' et p' premiers entre eux

ça me donne

mais n'est-ce pas différent de ?

merci pour ta patience :we:

[Blass]

sinon, je sais pas si c'est parce qu'on est le soir, mais je n'arrive pas à voir comment faire pour démontrer que si par exemple a et b sont premiers entre eux, alors le sont aussi

pourrais tu juste m'indiquer la méthode ?

merci

[Blass]

bonsoir,

s'il vous plait, personne ne peut m'éclairer ? ça me frustre de savoir que c'est la dernière question qui garde son mystère:triste:

merci beaucoup