Petite aide

[Bertrand Hamant]

Bonjour je faisais un petit exercice et je voudrais que vous y jetiez un oeil s'il vous plait. Merci

Représenter graphiquement dans le plan complxe l'ensemble des points M d'affixe z tels que z et z ² aient le meme module.


Module de z = à la racine carré de x² + y²

Module de z² = à la racine carré de x^4 + y^4

est ce juste dois je résoudre l'équation x² + y² = x^4 + y^4

merci de me confirmer

[Galt]

Non, le module de ce n'est pas , puisque .
Pour cette question, il faut utiliser que

[Bertrand Hamant]

donc module de z = racine de x² + y² et z ² = x²-y² + 2xiy

donc pour qu'il ait le meme module il faut que z = z²


soit 2 ( y² - x y ) = 0

donc y² = xy

en divisant par y de chaque coté nous avons y = x

est ce correcte ?

[Galt]

Non : , soit ou

[Bertrand Hamant]

excuse moi je n'ai pas compris comment tu as fait

[Galt]

Quand peut-on dire qu'un réel positif ( est égal à son carré ?

[Bertrand Hamant]

le module de z = x²+y² avec la racine carré
le module de z² = x²-y² + 2xiy

pour qu'il aient le meme module on doit donc avoir

x² + y² = x² - y² pour la partie réelle

2xy = 0 pour la partie imaginaire

est ce correct sinon donne moi l'explication un peu plus claire s'il te plait

[Bertrand Hamant]

j'aimerais que tu détailles si possible merci je voudrais bien comprendre.

[Galt]

Je répète : il faut utiliser que
On ne passe pas par les formes algébriques pour ce genre de problème.

[Galt]

Si on écrit avec les formes algébriques, comme , ça donne ce qui donne . On peut s'en sortir à partir de là aussi.
Mais il ne faut pas confondre le complexe et son module

[Bertrand Hamant]

Corrige moi si c'est faux

on a donc de chaque coté


x² + y² = x^4 + y^4 + 2x² y²

ce qui revient à x² ( 1 + x ) ( 1 - x ) + y² ( 1 + y ) ( 1 - y ) = 0

et 2x²y² = 0

on a donc comme solution x = 0 , - 1 et 1 de meme pour y.

Alors pour ta confirmation

[Galt]

Corrige moi si c'est faux

on a donc de chaque coté


x² + y² = x^4 + y^4 + 2x² y²

ce qui revient à x² ( 1 + x ) ( 1 - x ) + y² ( 1 + y ) ( 1 - y ) = 0

et 2x²y² = 0

on a donc comme solution x = 0 , - 1 et 1 de meme pour y.

Alors pour ta confirmation

Ca ne va pas : Il n'y a plus que des nombres réels, donc on n'a pas le droit de séparer en deux. Pour résoudre cette équation, il faut remarquer une identité remarquable dans .
Mais je le répète, la bonne méthode pour résoudre cet éxercice, c'est de remarquer que , donc que . Ainsi l'équation devient , et les seuls réels qui sont égaux à leurs carrés sont 0 et 1. On obtient donc ou

[Bertrand Hamant]

en fait il faut résoudre


( x² + y² ) ( x² + y²) = x² + y²

mais j'aimerais savoir comment je pourrai résoudre cette équation s'il te plait
soit

( x² + y² ) ² = x² + y²

[Galt]

Depuis une heure je te dis que le problème est de savoir pour quels réels a-t-on
?

[Bertrand Hamant]

oui c'est vrai les seuls possibles sont 0 et 1 qui ont le meme carré mais j'aimerais savoir comment on pourrait résoudre


( x² + y² )² = x² + y²

excuse moi mais je voudrais savoir comment on procède

[Galt]

On pose

[Bertrand Hamant]

Merci, ce qui revient à A ² = A


A = 0 et à 1


donc on a x = 0 et à 1 ainsi que y = 0 et à 1

Merci et excuse moi