Petit théorème de Fermat

[nadia]

Bonjour, voici un exercice d'arithmétique qui me fait bloquer:
soient a,b,c,d 4 entiers naturels non nuls. Il faut montrer que a^(4b-d)-a^(4c-d) est congru à 0 modulo 30.
Une idée s'il vous plait?
Merci.

[pascal16]

avec 4 récurrences, ça doit être faisable, mais doit y avoir moins long

[Ben314]

Salut,
Déjà, j'espère que l'énoncé précise que l'on suppose de plus que ab-d et 4c-d sont positif, sinon les exposants négatifs modulo 30, c'est pas gagné...

Sinon, la première chose à voir, c'est que, comme 30=2x3x5 et que 2,3 et 5 sont premier entre eux, un entier N est divisible par 30 si et seulement si il est divisible à la fois par 2, 3 et 5. Donc pour montrer que N est congru à 0 modulo 30, il suffit de montrer qu'il est congru à 0 modulo 2 ainsi que modulo 3 ainsi que modulo 5.

Je te fait "celui du milieu", c'est à dire le modulo 3 :
- Si a est divisible par 3 alors a^(4b-d) et a^(4c-d) le sont donc leur différence aussi (donc elle est bien congru à 0 modulo 3)
- Sinon, a étant non divisible par p=3 qui est premier, on sait (petit théorème de Fermat) que a^2=a^(p-1)=1 [3] ce qui signifie que si deux entiers s et t sont congrus modulo 2, on a a^s=a^t [3]. Or 4b-d et 4c-d sont clairement congrus modulo 2 donc on a a^(4b-d)=a^(4c-d) [3] c'est à dire a^(4b-d)-a^(4c-d)=0 [3]

A toi de jouer pour 2 et pour 5. . .

[nadia]

Je vois très claire comme ça. Je suis arrivée à faire la même chose pour 2 et pour 5. Merci infiniment.