Passage d'une équation à une autre

[emmesse]

Bonjour,

j'aurai besoin de savoir comment passer de cette équation:

à celle-ci:

c'est pour démontrer que deux plans se croisent en une droite dans un espace à 3 dimensions.
Je démontrerais ensuite que deux espaces à 3 dimensions se croisent en un plan dans un espace à 4 dimensions

[catamat]

Bonjour

D'abord l'intersection de deux plans peut être une droite mais aussi l'ensemble vide ou encore un plan (s'ils sont confondus).

Donc il y a une condition à poser pour que les deux plans soient sécants, par ex que leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

Ceci dit la première équation donne l'abscisse du milieu d'un segment dont les extrémités sont un point du plan (ABC) et un point du plan (DEF) même si les 2 plans sont sécants ce point n'est pas nécessairement sur leur intersection.

[emmesse]

je pensait que l'équation paramétrée d'une droite dans un espace à 4 dimensions serait:




car

pour un plan ça donnerai:




car
avec et indépendants
en croisant ça devrait donner:



qu'en pensez-vous?

[emmesse]

Si on continue, ça donne pour l'espace à 3 dimensions:




avec et et indépendants

[catamat]

Bon si on commence au début soit en deux dimensions

Deux droites si elles sont sécantes se coupent en un point, ok c'est pas nouveau...

Si on utilise les équations paramétriques
Droite (AB)


Droite (CD)



L'éventuel point commun s'obtient en résolvant le système suivant d'inconnue (k,k')



ou



On a une solution unique si et seulement si le déterminant de ce système est non nul donc si et seulement si et ne sont pas colinéaires.

Si on passe en dimension 3 on va avoir 4 paramètres pour 3 équations seulement donc dans le cas où les plans sont sécants les 4 paramètres vont s'exprimer en fonction d'un seul paramètre et on obtient une équation de droite.

Enfin en dimension 4 on a 6 paramètres et 4 équations donc si les conditions sont réunies( hyperplans sécants), ces 6 paramètres vont s'exprimer en fonction de deux paramètres et on a une équation de plan.