Partie entière

[Zweig]

Salut,

Soit entier naturel. On considère l'entier

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Montrer que pour tout , cet entier est un carré parfait.

En fait, j'aimerai avoir vos démonstrations. En particulier, une démonstration plus arithmétique. Non pas que je n'ai pas réussi cet exercice, mais j'aimerai avoir d'autres approches. Bon, pour rester dans les règles afin qu'on ne croit pas que je veux une réponse toute fraîche pour mon DM, je vais quand même donner ma réponse :

On considère la suite
On vérifie que , avec et . Une simple récurrence nous permet alors d'affirmer que est un entier naturel, pour tout .

Comme et , on obtient l'encadrement suivant :



Si bien que



On veut donc montrer que est un carré parfait. C'est immédiat :



D'ailleurs, ça permettra de voir si une erreur s'est glissée.

Merci !

[Zweig]

Personne ?

[Nightmare]

Salut :happy3:

Comment justifies-tu que soit bien le carré de ce truc là? Il ne me semble pas qu'on puisse se débarrasser de la partie entière comme ça.

[Zweig]

Je ne me suis pas débarrassé de la partie entière, j'ai utilisé la première formule de (ce sont des crochets, pas le truc de la partie entière).

[maturin]

Ta solution est très bien et je ne vois pas de solution arithmétique. Il n'y a pas de méthode simple pour travailler avec des parties entières.

Je sais pas si la question faisait partie d'un problème plus long (genre un problème sur les suites de Fibonacci), mais sans indication je ne vois pas de solution, et ta solution est déjà très dure à trouver. Surtout pour un niveau "Lycée".

Sinon au lieu de ton j'aurais plutôt mis qui explique mieux la ligne suivante.

[Zweig]

Salut,

Non il n'y avait pas d'indications, c'est un problème tiré d'une olympiade de mathématique. Oui, pour le deuxième encadrement, c'est vrai que c'est plus clair.
Pour ce qui est de ma solution, je n'ai pas vraiment eu une idée de génie ... C'est assez classique (aux olympiades, du moins ...) lorsque l'on traite des parties entières avec des nombres de la forme de poser une suite comme somme de ce nombre avec son conjugué ... C'est d'ailleurs pour ça que je recherche une autre manière de faire.

[busard_des_roseaux]

Soit entier naturel. On considère l'entier

[CENTER][/CENTER]

Montrer que pour tout , cet entier est un carré parfait.

Bonjour,

c'est intéressant.L'énoncé était plus étoofé, avec d'autres questions
ou il y avait juste cette question unique ?

remarque:
il ya le nombre dans le même genre.

[Zweig]

Comme je l'ai précisé, cet exercice est tirée d'une olympiade (je ne me souviens plus du pays) donc il n'y avait pas de questions intermédiaires.

[busard_des_roseaux]

Comme je l'ai précisé, cet exercice est tirée d'une olympiade (je ne me souviens plus du pays) donc il n'y avait pas de questions intermédiaires.

merçi bien.