Parité d'une fonction

[tomtom]

Bonjour à tous et à toutes.

J'ai des petits questions sur la parité de fonction^^

Une fonction est-elle forcément paire et/ou impaire ou peut elle être ni l'un ni l'autre.

De plus, si la dérivée d'une fonction est paire. la fonction est impaire?

et si la fonction dérivée est impaire. La fonction est elle paire?

Peu on aussi parler de Suite paire et impaire?

Merci infiniment pour vos réponses^^

[capitaine nuggets]

Salut, par définition une fonction f est paire (resp. impaire) si quel que soit x dans le domaine de f, son opposé -x appartient à et f(-x)=f(x) (resp. f(-x)=-f(x).

Donc déjà ça dépend du domaine : s'il n'est pas symétrique par rapport à 0, c'est foutu (par exemple, la fonction racine carré). Après, tu peux par exemple choisir une fonction affine, c'est-à-dire de la forme f(x)=ax+b, avec a non nul. En revanche, on a un résultat qui dit que toute fonction définies sur peut s'exprimer de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Par exemple, tu as .

Quelle est la dérivée de la fonction ?
Quelle est la dérivée de la fonction ?
Sachant que si deux fonctions sont égales, leur dérivée l'est aussi, déduis-en que :
- si f(-x)=f(x) alors f'(-x)=-f'(x),
- si f(-x)=-f(x) alors f'(-x)=f'(x).
Et tu peux ainsi répondre à ta question

Une suite n'est ni plus ni moins qu'une fonction dont le domaine est intersecté avec . Donc inutile de parler de parité pour une suite puisque son domaine ne sera jamais symétrique par rapport à 0.

[tomtom]

Woaw

Merci beaucoup!

Tu as répondu à toutes mes question^^

[nodgim]

Si f(x) = x²
f(-x) = (-x)² = x² = f(x) donc f est une fonction paire.
Dérivée f'(x)= 2x
f'(-x) = 2(-x) = -2x = -f'(x) donc fonction dérivée impaire !

Maintenant, une dérivée paire ou impaire n'implique pas une parité sur la fonction.
Exemple f(x)= 3x+ 2
Fonction ni paire, ni impaire, mais dérivée paire.

[mathelot]

Une fonction est-elle forcément paire et/ou impaire ou peut elle être ni l'un ni l'autre.

une fonction f peut être ni paire ni impaire
exemple: f(x)=x+2

si la dérivée d'une fonction est paire. la fonction est impaire?

pas nécessairement, par exemple:
f(x)=x^3+1
f'(x)=3x^2
par contre, si f' est continue sur R et paire, la primitive F de f' qui s'annule en x=0
est impaire.


on pose u=-t

si la fonction dérivée est impaire. La fonction est elle paire?

on pose u=-t



Si f' est continue et impaire, ses primitives sont paires (la constante d'intégration est une fonction paire)

[tomtom]

Super Merci Mathelot merci nodgim

Cela me parait clair maintenant

Merci beaucoup à tous