Parité

[flavie960401]

Bonjour,
je suis en Spe maths et j'ai un soucis avec un exercice que je ne comprend pas
"Supposons que p et q sont deux entiers naturels tels que p/q = racine carrée de 2
1. Montrer que pour tout n, n² a même parité que n
2. Montrer que p² est pair. Qu'en déduit-on sur p?
3. Soit p=2p', p' E N. Montrer que q est pair.
4. Peut-on trouver p et q entier naturels tels que p/q= racine carrée de 2, la fraction p/q étant irréductible? (c'est a dire que p et q n'ont pas de diviseurs communs positif autre que 1). Qu'en déduit-on sur racine carrée de 2?

J'ai fais la première question, je ne sais pas si j'ai juste, mais je n'arrive pas a faire les autres. Pouvez-vous m'aider ?

[sylvainp]

Bonjour,

1. Tu as fait quoi? Il faut distinguer n paire ou n impaire, puis constater ce que ça donne pour n² dans les deux cas.

2. Montrer que p² est paire : il est supposé que p=q*racine(2) , donc p²=...

[flavie960401]

Bonjour,

1. Tu as fait quoi? Il faut distinguer n paire ou n impaire, puis constater ce que ça donne pour n² dans les deux cas.

2. Montrer que p² est paire : il est supposé que p=q*racine(2) , donc p²=...

Pour la 1, j'ai dis que si n est pair,
x=2n
x²=4n²
donc x²= 2x2n²
et que si n est impair
y=2n+1
y²=4n²+4n+1
donc pour tout n, n² a même parité que n

2. Donc p²=q²x2 ? Ce qui signifierai que p est pair car c'est un multiple de 2 et que les multiples de 2 sont pairs

[sylvainp]

ok très bien.

la suite ça marche?

[flavie960401]

ok très bien.

la suite ça marche?

Pour la 4, je n'ai pas compris et pour la 3 j'ai fais quelque chose mais je me suis rendue compte que ca ne pouvait pas etre vrai:
p=2p'
p est pair car c'est un multiple de 2 en fonction de p'
on veut q pair. pair/pair= pair ou impair
sachant que p est pair, q est donc pair également
je me suis rendue compte ensuite que je n'avais pas pris en compte la racine de 2, du cou je ne pense pas avoir trouvé le raisonnement..

[sylvainp]

En effet ton raisonnement n'est pas bon.

p/q = racine carrée de 2

ou bien 2p'/q = racine carrée de 2 sachant que p est pair.
Ensuite élève au carré comme on a fait avant, ça fait 4p'²=2*q²
On déduit que ...

[flavie960401]

On en déduit que p/q=racine de 2 et que q est pair?

[sylvainp]

On en déduit que p/q=racine de 2

ça c'est la supposition de l'énoncé, on va pas le déduire, on part de ça au contraire.

et que q est pair?

oui mais pourquoi?
Je reprends ce que tu as fait à la 2. :

Donc p²=q²x2 ? Ce qui signifierai que p est pair car c'est un multiple de 2 et que les multiples de 2 sont pairs

p²=q²x2 (on a élevé au carré la relation supposée vraie dans l'énoncé)
or p=2p' car p est pair,
donc 4p'²=2*q² ... ou encore 2p'²=q²

que peux-tu dire sur q² d'après cette relation, pair, impair? puis sur q?

[flavie960401]

Je dirai qu'on en déduit que q² est pair car c'est égal a 2xp'² et donc q est aussi pair

[sylvainp]

c'est ça très bien

[flavie960401]

Donc ça c'est ma réponse pour la question 3 ?

[sylvainp]

p²=q²x2 (on a élevé au carré la relation supposée vraie dans l'énoncé)
or p=2p' car p est pair,
donc 4p'²=2*q² ... ou encore 2p'²=q²

et

Je dirai qu'on en déduit que q² est pair car c'est égal a 2xp'² et donc q est aussi pair

c'est ça le raisonnement de la 3 !

[sylvainp]

Pour la 4 :

On a supposé que p/q= racine carrée de 2 dans l'énoncé, avec p et q deux entiers naturels.
La question c'est est-ce que c'est possible?
On a prouvé que si la relation est vraie, alors p et q sont nécessairement pairs (questions 1, 2, 3)

Peut-on trouver p et q entier naturels tels que p/q= racine carrée de 2, la fraction p/q étant irréductible?

Avec ce qui est prouvé tu peux répondre normalement.

[flavie960401]

Comme on sait que p et q sont pairs et que donc la relation p/q= racine de 2, on peut trouver les entiers naturels p et q pour que la relation soit vérifiée.
Et pour la déduction de racine de 2 je dirai qu'elle est pair mais je suis pas sure