DM nombres complexes et suites. (Terminale S)

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Bonjour à tous, je suis en Terminale S, voici un DM que j'ai à faire pour les vacances, je bloque à une question.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;u;v).

Pour nN, on crée la suite de points du plan complexe (M.n) suivante :
M0 est le point d'affixe 4
On appele a.n l'affixe du point M.n
Si le point M.n, d'affixe a.n existe, on crée un point M'.n ayant pour affixe -ia.n.
Le point M.n+1 est alors le milieu du segment
Pour nN, on appelle r.n et .n le module et un argument de a.n

1) Placer les points Mo.......M5
Déjà fait grâce à l'énoncé

2) Prouver que pour tout nN, on a a.n+1 = (1-i/2)a.n
Déjà fait

3) Déduisez en que la suite (r.n) est géométrique et (.n) est arithmétique.

Pour cela j'ai trouvé a.n= 4(1-i/2)^n
a.n est donc géométrique de premier terme a0=4 et de raison q=1-i/2

Et grace à cela j'ai aussi trouvé r.n = 4(racine(2)/2)^n
r.n est donc géométrique de premier terme r0=4 et de raison q=racine(2)/2

Le problème est que je n'arrive pas à trouver la suite .n.. Je sais comment calculer l'argument avec cosinus et sinus mais avec la forme de a.n je ne sais pas comment faire ici.

Dans l'attente d'une réponse... Merci d'avance.

[chan79]

Le problème est que je n'arrive pas à trouver la suite .n.. Je sais comment calculer l'argument avec cosinus et sinus mais avec la forme de a.n je ne sais pas comment faire ici.

Dans l'attente d'une réponse... Merci d'avance.

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D'accord, mais ce que je ne comprend pas c'est comment calculer l'argument alors qu'il y a une puissance de n... Et surtout comment trouver des arguments sous forme de suite... Tout ce que je sais, en calculant terme par terme, c'est que la fonction .n a pour premier terme 0 = 0 et qu'ensuite elle oscille entre et je pense qu'elle converge aussi vers 0.
Dois-je trouver la formule explicite ou simplement démontrer qu'elle est arithmétique avec la méthode de la différence ?

[chan79]

A chaque étape, le nouvel argument s'obtient en ajoutant -pi/4

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Dans ce cas 3 = -3pi/4

[Pseuda]

arg (z*z') = arg z + arg z' (mod 2 pi)
arg (z^n) = n * arg z (mod 2 pi)
....
Autrement dit, quand tu multiplies 2 complexes, leurs modules se multiplient, et leurs arguments s'ajoutent.

Tu peux mettre le complexe (1-i)/2 sous forme exponentielle, ou sous forme trigonométrique (cela revient au même), puis l'élever à la puissance n : son module se met à la puissance n, son argument est multiplié par n.

[chan79]

Dans ce cas 3 = -3pi/4

oui, quand on multiplie des complexes, les arguments s'ajoutent.
A chaque fois, on ajoute -pi/4

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Je trouve bien n = n, mais je ne comprend pas pourquoi alors que la suite oscille entre

EDIT : J'ai fais une erreur pour les points M3 et plus, merci de votre aide !

[Pseuda]

Je trouve bien n = n, mais je ne comprend pas pourquoi alors que la suite oscille entre

EDIT : J'ai fais une erreur pour les points M3 et plus, merci de votre aide !

La suite des arguments de la suite (an) n'oscille pas entre : il y a tous les arguments de la forme .
Quelle est leur liste (en mesure principale comprise dans?

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En corrigeant mes erreurs de calculs/d'innantention, je trouve bien :



Merci encore pour votre aide!

[Pseuda]

Il y en a d'autres ....
la mesure principale de est

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