Nombres complexes et géométrie

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Bonjour à tous, voici un DM que j'ai à rendre pour la rentrée (dans deux jours), et je bloque à une question : je connais la réponse mais je doute de sa démonstration... Voici l'énoncé :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;u;v).

Pour nN, on crée la suite de points du plan complexe (M.n) suivante :
M0 est le point d'affixe 4
On appele a.n l'affixe du point M.n
Si le point M.n, d'affixe a.n existe, on crée un point M'.n ayant pour affixe -ia.n.
Le point M.n+1 est alors le milieu du segment
Pour nN, on appelle r.n et .n le module et un argument de a.n

1) Placer les points Mo.......M5
Déjà fait grâce à l'énoncé

2) Prouver que pour tout nN, on a a.n+1 = (1-i/2)a.n
Déjà fait

3) Déduisez en que la suite (r.n) est géométrique et (.n) est arithmétique.
a.n = 4(
r.n = 4(
= n

4) Quelle est la nature des triangles OMnMn+1 ?

Ils sont rectangles isocèles

5) Quelle est la limite de (r.n) ?
La suite converge vers 0 (nombre de termes infini)

Voila.. J'ai écris brièvement mes réponses pour arriver à cette question :

6) Pour quelles valeurs de n les vecteurs OMn et u sont-ils colinéaires ?

On remarque qu'ils sont colinéaires pour tout point Mn d'affixe réelle, autrement dit, pour tout n multiple de 4. Or, je ne sais vraiment pas (après 2-3 jours d'essais et de recherches) comment le démontrer...
Nous n'avons pas encore vu les équations modulaires donc cette option est à bannir. Peut-être avec la formule de colinéarité ? Or cela me semble difficile de trouver les coordonnées du vecteur OMn...

Merci d'avance pour vos réponses que j'attend avec impatience.

[siger]

bonjour

si cela est vrai (n multiple de 4) on doit avoir
a(n+4) = k*a(n)

a(n+4) = 4*((1-i)/2)^(n+4) = a(n) * ((1-i)/2)^4
donc il faut verifier que ((1-i)/2)^4 est reel......
et comme a0 est reel .......

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Je ne comprends pas en quoi a équivaut à dire que n est un multiple de 4, pouvez-vous m'expliquer ?