Dm nombre d'or

[les filles font des math]

Bonjour, nous sommes en 3eme et nous bloquons sur une question d'un dm sur le nombre d'or
voici la question :
transformer l'équation x²-x-1=0 en équation produit
merci d'avance :lol3:

[paquito]

x²-x-1= (x-1/2)²-5/4; à vérifier! donc x²-x-1= (x-(1-V5)/2)(x-(1+V5)/2); à vérifier encore (a²-b²)=(a-b)(a+b).le nombre d'or est .

[yvelines78]

bonjour,

je reprends l'explication un peu moins rapidement :
x²-x-1=0 (1)
x²-x est le débuts d'une identités remarquables (x-1/2)²=x²-2*1/2*x+1/4=x²-x+1/4
--> x²-x=(x-1/2)²-1/4
on remplace dans (1)
x²-x-1=0
(x-1/2)²-1/4-1=0
(x-1/2)²-1/4-4/4=0
(x-1/2)²-5/4=0
on a ici une idedentité remarquable :a²-b²=(a-b)(a+b)
avec :
a²=(x-1/2)²--> A V(x-1/2)²=(x-1/2)
et
b²=5/4--> b=V(5/4)=V5/V4=V5/2
-->
[(x-1/2)-V5/2][(x-1/2)+V5/2]=0
c'est une équation produit nul
si ab=0, a=0 ou b=0
--> x-1/2-V5/2=0
x=1/2+V5/2=(1+V5)/2
-->x-1/+V5/2=0
x=1/2-V5/2=(1-V5)/2

cette technique sera beaucoup utilisée en seconde, alors il est important de bien la maîtriser