[Spé] Nombre premier.

[Deluxor]

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider sur cet exercice ?

n désignant un entier naturel, démontrer que le nombre n'est pas premier.

Suffit-il de dire que : ?

Merci !!

[Mortelune]

Non puisque 15/n n'est pas nécessairement entier (d'ailleurs il l'est très rarement) donc il faut trouver une autre factorisation (ça reste un polynôme du second degré).

[Deluxor]

Donc est composé ?

[Mortelune]

Oui c'est ça si par composée tu entends un produit d'entiers tous différents de 1.

[Deluxor]

Je t'avoue que j'ai du mal avec cette histoire de nombres premiers et composés, notamment pour prouver que le nombre admet au moins trois diviseurs.

En effet, dans l'exemple du cours on prend , et on veut prouver que n'est pas premier.

Alors on factorise (jusque là tout va bien) :

Viens ensuite la preuve que admet au moins trois diviseurs (je ne comprends plus la logique) :

, donc
, donc , soit

donc admet au moins deux diviseurs strictement supérieurs à 1, donc il n'est pas premier.


Par suite, je ne comprends pas pourquoi, comme , alors admet au moins trois diviseurs...

[Mortelune]

Pour l'histoire des 3 diviseurs ça devient un peu plus compliqué.
Si n est impair alors n+5 et n+3 sont pairs donc 2 est diviseurs des 2 facteurs donc le nombre cherché est aussi divisible par 2.
Si n est pair ça se corse un peu puisque 15 (cas n=0) n'admet que 2 diviseurs : 3 et 5.

[Deluxor]

Pour l'histoire des 3 diviseurs ça devient un peu plus compliqué.
Si n est impair alors n+5 et n+3 sont pairs donc 2 est diviseurs des 2 facteurs donc le nombre cherché est aussi divisible par 2.
Si n est pair ça se corse un peu puisque 15 (cas n=0) n'admet que 2 diviseurs : 3 et 5.

En clair, on ne peut pas le prouver pour pair ?

[Mortelune]

Oui en clair c'est ça (dans le cas général) ^^

[Deluxor]

Oui en clair c'est ça (dans le cas général) ^^

D'accord... J'ai prouvé pour impair, on verra la correction pour le cas où est pair. ^^

[Nightmare]

Hello,

en fait l'histoire des 3 diviseurs est beaucoup plus simple que ça :

n²-1 s'écrit (n-1)(n+1), donc il a déjà deux diviseurs distincts : n-1 et n+1. Et on sait aussi que 1 divise n'importe quel nombre, donc c'est notre troisième diviseur. Ce qu'il faut vérifier, c'est que ni n-1 ni n+1 ne sont égaux à 1 (sinon on aurait que deux diviseurs), c'est ce qui est fait dans la correction.

[Deluxor]

Hello,

en fait l'histoire des 3 diviseurs est beaucoup plus simple que ça :

n²-1 s'écrit (n-1)(n+1), donc il a déjà deux diviseurs distincts : n-1 et n+1. Et on sait aussi que 1 divise n'importe quel nombre, donc c'est notre troisième diviseur. Ce qu'il faut vérifier, c'est que ni n-1 ni n+1 ne sont égaux à 1 (sinon on aurait que deux diviseurs), c'est ce qui est fait dans la correction.

Merci beaucoup !

J'ai compris maintenant.

Sinon, dans mon exercice posé au premier post, il n'est pas possible de prouver pour tout ?

[Mortelune]

Du coup si puisqu'il suffit de mettre un 1 en facteur devant et de dire que les autre diviseurs sont distincts de 1, on a donc bien 3 diviseurs.

[Deluxor]

Du coup si puisqu'il suffit de mettre un 1 en facteur devant et de dire que les autre diviseurs sont distincts de 1, on a donc bien 3 diviseurs.

C'est vrai !

Merci.

[nodjim]

Ben oui mais alors on a le droit d'en compter 4, en comptant le nombre lui même.