Nombre de multiples de p^k

[daffodil]

Salut,

Je suis en terminale S spé maths et, en révisant les chapitres d'arithmétique, je suis tombée sur un exo dont la correction utilise que, si p est un nombre premier et n un entier, il y a [n/p^k] multiples de p^k inférieurs ou égaux à n (où [ ] est la partie entière).

D'où vient ce résultat ?

Merci d'avance pour votre aide !!

[aviateur]

Bonjour
C'est quoi" les multiples de p^k, c'est
Un multiple de est inférieur ou égal à n ssi ssi ssi

Donc le fait que p soit premier ne joue aucun rôle et il y a [n/p^k]+1 multiples de inférieur ou égaux à n.
Evidemment les intervenants n,p,k sont supposés entiers positifs.

[aymanemaysae]

Bonjour ;


Une autre façon de faire :

En utilisant la division euclidienne , on a : n = q x p^k + r avec 0 r < p^k ; donc : n/p^k = q + r/p^k .

D'autre part on a : 0 r < p^k ; donc : 0 r/p^k < 1 ; donc : q q + r/p^k < q +1 ; donc : q n/p^k < q +1 ;

donc : q = [n/p^k] ; donc : n = [n/p^k] p^k + r ; donc il y a [n/p^k] multiples non nuls de p^k inférieurs
ou égaux à n .

Comme l'a dit "aviateur" , il est inutile ici de supposer que p est premier . D'autres parts , la démarche d'aviateur est plus concise et plus directe .

[daffodil]

Ok, merci beaucoup !
Effectivement, il s'agissait de multiples non nuls (je n'avais précisé...), d'où le [p^k/n].

[aymanemaysae]

De rien . Bon courage .