Nombre dérivé

[elena22]

merci de m'aider pour cet exercice car je ne comprends pas du tout !
C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0;+infini[ par f(x)=[HTML]racine carrée[/HTML] x
T est la droite d'équation y=1/6x+3/2
T est-elle tangente à la courbe C ?

[Ericovitchi]

Regarde déjà où elles se coupent. Et puis après tu calculeras la tangente en ce point à la fonction (Rappel, la tangente en a c'est y=f'(a)(x-a)+f(a) ) et puis tu verras bien si cette tangente et la droite y=x/6+3/2 ont la même équation ou pas.

[elena22]

si t est tangente a C, alors T et C se coupent en un point A de coordonnées (a,f(a))
f est une fonction dérivable sur [0;+infini[ et f'(x)=1/(2*racine de x) pour tout x différent de 0

je ne vois pas quoi mettre

[annick]

Bonjour,
en fait, tu sais que le coefficient directeur de la tangente en un point est donné par la valeur de la dérivée en ce point.
Ici, ton coefficient directeur de tangente est 1/6.
Y a-t-il une valeur que x pour laquelle ta dérivée vaut 1/6 ?

[Ericovitchi]

Trouve déjà où elles se coupent donc résout

[elena22]

pourquoi cette équation ?

[Ericovitchi]

oui tu as deux façons de faire. Effectivement on peut faire aussi comme le conseille annick. Elle suggère de trouver directement les a telle que la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a) soit y=x/6+3/2 ce qui implique que f'(a)=1/6 et f(a)-af'(a)=3/2

Sinon, il te faut d'abord trouver l'intersection donc résoudre ça te donne le a, tu calcules l'équation de la tangente et tu vérifies qu'elle est identique à y=x/6+3/2. Ca revient au même.

[elena22]

mais comment résoudre racinede x = x/6 + 3/2 ?

[elena22]

oui tu as deux façons de faire. Effectivement on peut faire aussi comme le conseille annick. Elle suggère de trouver directement les a telle que la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a) soit y=x/6+3/2 ce qui implique que f'(a)=1/6 et f(a)-af'(a)=3/2

Sinon, il te faut d'abord trouver l'intersection donc résoudre ça te donne le a, tu calcules l'équation de la tangente et tu vérifies qu'elle est identique à y=x/6+3/2. Ca revient au même.

je suis complètement perdue....

[Ericovitchi]

en élevant au carré des deux cotés (et en se souvenant que x/6+3/2 doit être positif (car égal à une racine carré); ça servira à éliminer plus tard une des deux solutions que l'on trouvera)

[elena22]

je suis désolée mais je ne vois vraiment pas comment débuter....
est-ce que le dérivé de f(x)= 1/(2racinedex) et que le coefficient directeur de T est m=1/6 donc que le coefficient directeur de C est 1/6 alors f'(a)=1/6 je ne sais pas comment utiliser les informations

[Ericovitchi]

Oui donc résout 1/(2racinedex)=1/6

Par contre suit l'une ou l'autre des deux pistes mais choisit et ne passe pas de l'une à l'autre sinon tu vas te perdre dans la logique de ta démarche.

[elena22]

donc si T est tangente à C alors T et C se coupent en A
Le coefficient directeur de T est m=1/6
Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse a. Cette tangente est T. Donc f'(a)=1/6
le nombre dérivé de f est f'(x)=1/(2*racinede x)
alors 1/(2*racinede x)=1/6
1x6=1x2*racinede x
6=2*racinede x
3=racine de x
x=9
et ensuite je ne sais pas quoi faire
y a-t-il des étapes inutiles ? ou qui manquent ?

[Ericovitchi]

Non c'est bien. donc si on se résume, tu as démontré que si la droite y=1/6x+3/2 est tangente à la courbe, alors elle ne peut l'être qu'au point x=9.

Maintenant il reste quand même à démontrer que les deux se coupent bien au point x=9. Pour cela remplace x par 9 dans les deux équations et montre que les deux équations donnent bien la même ordonnée.

[elena22]

lorsque l'on remplace par x on trouve bien 3 des deux côtés
mais je ne sais pas comment rédiger, et j'ai un prof très a cheval sur la présentation ^^

[Ericovitchi]

Si tu as tout compris, tu sauras le rédiger avec logique :++:

[elena22]

merci beaucoup :)