Enoncé
On désire placer des jetons sur un damier 5x5 cases (25 cases). On ne place pas plus de 1 jeton par case.
1/ On dispose de trois jetons identiques.
a) Combien y a til de disposition possible ?
Ma réponse : Disposer 3 jetons identiques sur un damier de 25 cases revient à choisir 3 cases parmi 25 sans ordre et sans répétition. Ceci revient à dire que l'on prend une combinaison de 3 éléments parmi 25 (25 3) = 2300 disposition possibles.
b)Combien existe t il de dispositions possibles sans aucun jeton sur les diagonales
Ma réponse : Le nombre de dispositions possibles sans aucun jeton sur les diagonales revient à dire qu'un résultat est une combinaison de 3 éléments parmi 16 (on retire les 9 cases des deux diagonales)
(16 3) = 560 disposition possibles
c)Combien existe t'il de dispositions possibles comportant au plus un jeton sur l'une des deux diagonales?
Ma réponse : Soit un jeton strictement sur une des deux diagonales. On est donc une liste sans ordre sans répétition. On utilise la technique du remplissage de cases :
[CENTER]1 ère jeton 2 ème jeton 3ème jeton
9 16 15[/CENTER]
par multiplication des cases 9x16x15 = 2160 dispositions possibles
(Jusque là je pense être sur)
2)On dispose de 3 jetons numérotés de 1, 2 et 3
a) Combien y a t'il de disposition possibles?
Ma réponse : Soit 3 jetons numérotés de 1 à 3, on est donc devant une liste sans répétition avec ordre. On utilise la technique du remplissage de cases :
[CENTER]1 ère case 2 ème case 3 ème cases
25 24 23[/CENTER]
Or les trois jetons sont différents, donc il faut multiplier le tout par 3! (3 factoriel) car on peut positionner les jetons de différents façons
par multiplication des cases 25x24x23x3x2x1 = 82800 possibilitées
b)Combien existe il de disposition avec au plus un jeton par colonne?
Ma réponse : Soit un résultat, une liste avec ordre, sans répétition. On admet a la premiere colonne 1 jeton, il y a donc 15 possibilités car on a 3 jetons différents, a la deuxieme colonne on admet plus que 10 possibilités car il reste deux jetons et pour le reste des cases, il en reste 15 et il reste plus qu'un jeton, il y a donc 15 possibilités mais comme on posséde au départ 3 jetons différents, on multiplie le total par 3! (3 factoriel)
Par remplissage de cases
[CENTER]1 ère jeton 2 ème jeton 3eme jeton
15 10 15[/CENTER]
par multiplication des cases 15x10x15x3x2x1 = 13500 possibilités
c)Combien existe t'il de dispositions comportant exactement 2 jetons dans les coins ?
Ma réponse : Soit deux jetons dans les coins impérativement et uniquement deux.
Alors par remplissage de cases
[CENTER]1 ère jeton 2eme jeton 3eme jeton
12 choix 6 choix 21 choix[/CENTER]
Mais on a trois jetons, donc on multiplie le tout par 3! (3 factoriel) c'est a dire
12x6x21x3x2x1 = 9072 possibilitées
voilà bon donc je pense que les troi spremieres question je les ai réussi, ainsi que la premiere question de la deuxieme partie mais celle d'apres je ne suis pas sur du tout merci de votre aide !
