Nbr complexes ! svp

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
sweety07
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nbr complexes ! svp

par sweety07 » 27 Jan 2010, 11:57

Bonjour,

Voila j'ai un exo à faire mais je bloque sur quelques questions

On se place sur le plan complexe.
On appelle f l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : f(z) = z' = z²+1
1)
a) Montrer que f admet deux invariants dont on précisera les affixes
j'ai utiliser le discriminant et je trouve z1 = i et z2 = -i

b) Expliquer pourquoi f n'st ni une translation, ni une rotation, ni une homothétie.
je n'y arrive pas :s

2) Montrer que deux point symétrique par rapport à O on même image
ça c'est bon je l'ai fait

3) Soit A le point d'affixe : za = V2/2 +V2/2i. A' est son image par f.
a) déterminer l'affixe du point A'
c'set bon je trouve zA' = 1+i
b) Montrer que O, A et A' sont alignés.
Je n'y arrive pa Je Bloque ! :s

4) Soit ;) appartenant à [0 ; 2;) ] Soit N le point d'affixe zN = e(itéta). Soit N' son image par f.
a) En utilisant les formules d'Euler, montrer que zN' = 2cos;)zN
b) En déduire que O, N et N' sont alignés

Tout la question 4 je n'y arrive pas :s je bloque aussi

Merci d'avance !!



Sylviel
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par Sylviel » 27 Jan 2010, 12:23

1 a) Bon tu commence mal : qu'est-ce qu'un invariant ? c'est f(z) = ...
b) quel est la forme d'une rotation ? d'une homotéthie ? d'une rotation ? ou encore sais-tu ce que préserve ces transformations ? Est-ce le cas pour celle que tu étudies ?

3) pour montrer que des points sont alignées une bonne idée est de montrer que les vecteurs sont colinéaires, donc que où k est réel. Ou encore que le quotient appartient à

4a) et bien calcule l'affixe N' en remplaçant z par
b) je t'ai dit comment faire plus haut

Revient poser des questions si tu n'y arrive pas...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 12:26

pour 1)a) je ne voit pas comment faire alors :s
pour 1)b) le z² ne conserve pas les distances ?

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 12:44

pour 4)a) si je remplace z par e(itéta) on a :
zN' = (e'itéta))² + 1
zN' = e(i2téta) + 1 et après ?

Sylviel
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par Sylviel » 27 Jan 2010, 13:35

1a) un point fixe est un point qui n'est pas modifié par la transformation donc f(z) = z.

b) Et non z² ne conserve pas les longueurs (regarde sur la droite réelle par exemple)... Il suffit de le montrer sur un exemple (par exemple la distance entre 0 et 1)

4 a) et après regarde ce qu'il faut obtenir... tu dois avoir qqchose * zN, donc factorise par z_N.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 13:46

pour 1)a)
z = z²+1
z-z² = 1
z(1-z) = 1
z = 1/(1-z) et si je remplace z par x + iy je ma retrouve avec [(1-x) / (1-2x+x²+y²] +iy
et 1b) je ne sais pas comment le démontrer avec un exemple :s

Sylviel
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par Sylviel » 27 Jan 2010, 14:07

1a) tu te compliques la vie : tu as un trinome dont tu cherche les racines !

1b) et ben tu calcules l'image de 0 et l'image de 1, tu calcule leur distance et tu vois que c'est différent de celle des points d'origine... ou pas. Alors tu essaies avec 0 et 2...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 22:11

1A les racines sont i et - i ?!

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 22:13

franchement je vois pas comment faire sinon

Sylviel
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par Sylviel » 27 Jan 2010, 22:18

Heu...comment dire :

z²+1=z cela revient à z²-z+1=0, non ?
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 22:20

ahhhh (la honte :s) j'aurais jamais trouvé !

Sylviel
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par Sylviel » 27 Jan 2010, 22:24

C'est pourtant une "astuce" des plus classiques et des plus efficaces : quand tu veux montrer une égalité, montre que la différence est nulle ! Car tu as plein de résultats / formule pour trouver les racines d'une fonction (ce qui est en fait assez général puisque cela te permet de montrer une égalité quelconque...)

Pour ta culture et piquer ta curiosité : quand tu seras grand, si tu fais un jour des maths (bon d'accord, dans quelques années quand même) tu feras peut-être l'inverse : chercher une égalité sous forme de point fixe car on a aussi quelques résultats pour ceux là...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 22:27

mais en fait je ne comprends pas pourquoi les racines de ce polynôme sont les points invariants ?

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 22:30

ah non c'est bon je comprend lol je dérive totalement là !!

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 22:34

Merci de m'avoir aidée et d'avoir été patient(e) surtout !! :we:

Sylviel
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par Sylviel » 27 Jan 2010, 22:44

bah, j'aime bien donner des petits cours ;-) et j'espère aider les gens a éviter trop de mésentente avec les amths...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

sweety07
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par sweety07 » 27 Jan 2010, 22:49

:ptdr: c'est parfois un peu compliqué le maths

 

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