Nbr complexes ! svp

[sweety07]

Bonjour,

Voila j'ai un exo à faire mais je bloque sur quelques questions

On se place sur le plan complexe.
On appelle f l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : f(z) = z' = z²+1
1)
a) Montrer que f admet deux invariants dont on précisera les affixes
j'ai utiliser le discriminant et je trouve z1 = i et z2 = -i

b) Expliquer pourquoi f n'st ni une translation, ni une rotation, ni une homothétie.
je n'y arrive pas :s

2) Montrer que deux point symétrique par rapport à O on même image
ça c'est bon je l'ai fait

3) Soit A le point d'affixe : za = V2/2 +V2/2i. A' est son image par f.
a) déterminer l'affixe du point A'
c'set bon je trouve zA' = 1+i
b) Montrer que O, A et A' sont alignés.
Je n'y arrive pa Je Bloque ! :s

4) Soit ;) appartenant à [0 ; 2;) ] Soit N le point d'affixe zN = e(itéta). Soit N' son image par f.
a) En utilisant les formules d'Euler, montrer que zN' = 2cos;)zN
b) En déduire que O, N et N' sont alignés

Tout la question 4 je n'y arrive pas :s je bloque aussi

Merci d'avance !!

[Sylviel]

1 a) Bon tu commence mal : qu'est-ce qu'un invariant ? c'est f(z) = ...
b) quel est la forme d'une rotation ? d'une homotéthie ? d'une rotation ? ou encore sais-tu ce que préserve ces transformations ? Est-ce le cas pour celle que tu étudies ?

3) pour montrer que des points sont alignées une bonne idée est de montrer que les vecteurs sont colinéaires, donc que où k est réel. Ou encore que le quotient appartient à

4a) et bien calcule l'affixe N' en remplaçant z par
b) je t'ai dit comment faire plus haut

Revient poser des questions si tu n'y arrive pas...

[sweety07]

pour 1)a) je ne voit pas comment faire alors :s
pour 1)b) le z² ne conserve pas les distances ?

[sweety07]

pour 4)a) si je remplace z par e(itéta) on a :
zN' = (e'itéta))² + 1
zN' = e(i2téta) + 1 et après ?

[Sylviel]

1a) un point fixe est un point qui n'est pas modifié par la transformation donc f(z) = z.

b) Et non z² ne conserve pas les longueurs (regarde sur la droite réelle par exemple)... Il suffit de le montrer sur un exemple (par exemple la distance entre 0 et 1)

4 a) et après regarde ce qu'il faut obtenir... tu dois avoir qqchose * zN, donc factorise par z_N.

[sweety07]

pour 1)a)
z = z²+1
z-z² = 1
z(1-z) = 1
z = 1/(1-z) et si je remplace z par x + iy je ma retrouve avec [(1-x) / (1-2x+x²+y²] +iy
et 1b) je ne sais pas comment le démontrer avec un exemple :s

[Sylviel]

1a) tu te compliques la vie : tu as un trinome dont tu cherche les racines !

1b) et ben tu calcules l'image de 0 et l'image de 1, tu calcule leur distance et tu vois que c'est différent de celle des points d'origine... ou pas. Alors tu essaies avec 0 et 2...

[sweety07]

1A les racines sont i et - i ?!

[sweety07]

franchement je vois pas comment faire sinon

[Sylviel]

Heu...comment dire :

z²+1=z cela revient à z²-z+1=0, non ?

[sweety07]

ahhhh (la honte :s) j'aurais jamais trouvé !

[Sylviel]

C'est pourtant une "astuce" des plus classiques et des plus efficaces : quand tu veux montrer une égalité, montre que la différence est nulle ! Car tu as plein de résultats / formule pour trouver les racines d'une fonction (ce qui est en fait assez général puisque cela te permet de montrer une égalité quelconque...)

Pour ta culture et piquer ta curiosité : quand tu seras grand, si tu fais un jour des maths (bon d'accord, dans quelques années quand même) tu feras peut-être l'inverse : chercher une égalité sous forme de point fixe car on a aussi quelques résultats pour ceux là...

[sweety07]

mais en fait je ne comprends pas pourquoi les racines de ce polynôme sont les points invariants ?

[sweety07]

ah non c'est bon je comprend lol je dérive totalement là !!

[sweety07]

Merci de m'avoir aidée et d'avoir été patient(e) surtout !! :we:

[Sylviel]

bah, j'aime bien donner des petits cours ;-) et j'espère aider les gens a éviter trop de mésentente avec les amths...

[sweety07]

:ptdr: c'est parfois un peu compliqué le maths