Moyennes arithmétique, géométrique, harmonique

[Anonyme]

Bonjour !

J'ai un DM sur les moyennes. Auriez-vous la gentillesse de vérifier si ce que j'ai fait est correct, merci ?
Voici l'énoncé et mes réponses :
Etant donnés deux réels strictement positifs x et y, on définit :
leur moyenne arithmétique m telle que : m=(x+y)/2
leur moyenne géométrique m' telle que : m'=V(xy)
leur moyenne harmonique m" telle que : 2/m"=1/x+1/y
1. Exprimer m" en fonction de x et y.
Je trouve m"=2xy/x+y
b. Que peut-on-dire de m, m", et m' lorsque x=y ?
Je trouve que m=m'=m"(=x=y)
Dans les questions suivantes, on suppose que x<y
2. a. Démontrer que m"<m
Je fais m"-m et je trouve que cette différence est égale à : [-(x-y)²]/2(x+y)
Ceci est négatif donc m"<m
B.Démontrer que m'=V(mm")
J'ai calculé mm".On trouve mm"=xy d'où l'égalité.
3. En utilisant ces résultats démontrer que m"<m'<m
Puis je partir de l'inégalité, passer à la racine carrée ? Comment faire cette question ?
4. Classer par ordre croissant x, y, m, m", m', et m.
Je pense qu'il faut s'aider de la question précédente. qu'en pensez vous ?
Merci d'avance.

[Sylviel]

C'est pas mal du tout ce que tu as fait. Pour tes deux dernières questions, résumons ce que tu as :
m''x² (est-ce toujours le cas ?) devrait suffire à conclure.

Pour ta dernière question tu as presque toutes les inégalités, il te reste à comparer les bornes

bon courage