Montrer que f(x)=0 admet une équation unique

[poyvroud]

f (x) = x−2+1 ln x
Montrer que l'équation f (x)=0 admet dans ]0;+∞[ une solution unique s. Donner une valeur
approchée de s à 10−2 près.

Je tente de résoudre cette équation mais n'y parvient pas. Quelqu'un peut il m'aider stp?

[aymanemaysae]

Bonjour;


tu ne pourras pas résoudre directement cette équation, mais au contraire tu pourras faire une étude de la fonction définie pour tout par .

1) On a : .

2) est continue et dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur .

3) .

; donc est strictement croissante sur .

On a : et ; donc ; donc en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet au moins une solution : soit cette solution .

Comme est strictement croissante , alors est unique .

Je te laisse donner une valeur approchée de à près.

[poyvroud]

Merci pour votre réponse.

Je me rends compte que j'ai fait une erreur dans l'énoncé.
la fonction est la suivante: f (x) = x−2+ 1/2 ln x

J'ai donc f'(x)= 1+1/2x
f'>0 sur Df. La fonction est continue et croissante sur Df également donc il y a bien une solution s unique d'après le théorème des valeurs intermédiaires mais je n'arrive pas à la calculer

f(1)=-1 et f(2)=1/2 ln2 donc 1<s<2 mais c'est un encadrement et pas une une valeur
approchée de s à 10−2 près.

[mathelot]

Merci pour votre réponse.

Je me rends compte que j'ai fait une erreur dans l'énoncé.
la fonction est la suivante: f (x) = x−2+ 1/2 ln x

J'ai donc f'(x)= 1+1/2x
f'>0 sur Df. La fonction est continue et croissante sur Df également donc il y a bien une solution s unique d'après le théorème des valeurs intermédiaires mais je n'arrive pas à la calculer

f(1)=-1 et f(2)=1/2 ln2 donc 1<s<2 mais c'est un encadrement et pas une une valeur
approchée de s à 10−2 près.

tu emploies la même notation pour une muliplication et pour une division
il faut écrire 1/(2x) pour la dérivée

[poyvroud]

Alors je recommence avec la bonne notation:
f (x) = x−2+ (1/2) ln x
etf'(x)= 1+1/(2x)

Du coup quelqu'un peut il m'aider à résoudre mon problème?

[mathelot]

tu as ,au moins, trois algorithmes différents pour déterminer des valeurs approchées de la racine:
- le balayage de l'intervalle ]1;2[
- la recherche par dichotomie
(en grec, dichotomie veut dire couper en deux)
- la méthode de Newton

voici un algorithme de balayage (calculatrice TI):

1 STO x
10^{-1} STO h
0 STO y
WHILE x-2-0.5 ln(x) < 0
x STO y
x+h STO x
ENDWHILE
DISP "la racine est comprise entre les valeurs ",y,x

à faire tourner une fois.

A faire tourner une seconde fois en initialisant x avec y
et

remarque x STO y signifie que l'on sauvegarde la valeur de x dans la zone mémoire y

[poyvroud]

Y a t il une solution autre qu'un programme de calculatrice pour trouver la solution? Je ne sais pas si une justification de ce type est acceptée à l'écrit.

[Sylviel]

Il est recommandé de faire une recherche par dichotomie.
tu sais que f(1) <0 < f(2) donc 1 < s < 2 (intervalle de longeur 1)
tu calcules f(1.5) et tu déduis que s est dans un intervalle de longeur (1/2)
tu calcules f(milieu de l'intervalle) et en déduis que s est dans un intervalle de longeur (1/4) ...
au bout de quelques itérations tu auras
f(x1) < 0 < f(x2) donc x1 < s < x2 avec x2 - x1 < 0.01.

[Naderr]

Salut,

Pour trouver une valeur approchée de la solution de l'équation f(x) = 0, tu peux tracer la fonction avec la calculatrice et regarder l'abscisse du point d'intersection de Cf et et de l'axe des abscisses.

Puis une fois cette valeur approximative trouvée, tu affiches le tableau des valeurs qui démarre à celle-ci. Et tu règles le pas à 0,005.

Dès que tu trouves deux valeurs dont l'une a une image positive et l'autre négative tu peux en déduire une valeur approchée à 0,01 près de la solution.