Montrer qu'un nombre n'appartient pas à N

[ayoubjab]

Bonjour j'ai un exercice à faire .Merci de m'aider :
Soient (a;b) €N* et a>b
Montrez que:
(a^2+b^2)/(a^2-b^2) n'appartient pas à N
Merci☺☺

[Ben314]

Salut,
Je trouve rien d'élémentaire comme méthode à part un truc qui va te sembler complètement "sorti d'un chapeau" :
On suppose que est un entier (avec entiers).
Bien évidement et sont des entiers (à priori des entiers relatifs).
Sauf que si on écrit et uniquement en fonction de et , on vérifie facilement que , que , que et que .
Et ça, ben c'est une contradiction vu que ça signifie que lorsqu'on a une solution à l'équation on peut en trouver une autre "strictement plus petite".
Or partant d'un entier naturel , on ne peut pas construire indéfiniment des entiers naturels de plus en plus petit (strictement).

[ayoubjab]

Merci Ben ☺
J'ai pas fait attention à ce truc
l'exercice avait deux questions
La deuxième
M.q ( \/n) / ( \/(n+2)) n'appartient pas à Q
Merci beaucoup
J'ai calculé (A^2+B^2)/(A^2-B^2) et j'ai pas trouvé N

[pascal16]

peut être passer par = p/q avec p et q premiers entre eux
puis élever au carré

[ayoubjab]

Merci Pascal
J'ai déjà essayé mais ça n'a pas marché

[Ben314]

donc





Donc et avec donc ce qui prouve que et .



Sinon, au niveau du raisonnement, plutôt que de faire une "descente infinie", c'est sans doute plus simple de dire que vu qu'en multipliant (ou divisant) et par la même quantité, ça ne change pas la valeur de (c.f. çi dessus), ça signifie qu'on peut supposer que et sont sans diviseurs communs, c'est à dire que est irréductible.
Et dans ce cas, la contradiction provient du fait que avec qui signifie que l'on peut simplifier la fraction .

[aviateur]

Bonjour
@ben314, belle démonstration et particulièrement recherchée. Je me demande d'où vient cette idée de départ?

Par contre j'ai une démonstration plus simpliste. (Bien entendu) a et b étant supposés premier entre eux, il en est de même pour et . Or ceci contredit l'égalité de départ qui est équivalente avec

[FLBP]

Salut,

Soient
Soit

Supposons que :



ou multiple de 2,3 et/ou 5

Soit

J'ai pas eu le temps de finir, mais en gros :

Si

Si

Cordialement.

[Ben314]

La façon dont j'ai trouvé la "descente" est pas super compliqué : vu la tête de l'énoncé avec un dénominateur que se factorise super gentiment, ça incite un max à poser x=a+b et y=a-b qui donne (calculs) soit encore .
Et là, si on a déjà résolu ce type de problème d'arithmétique qui se résout par "descente infinie" (merci Mr Fermat...) on sait que ce qu'il faut considérer, c'est la solution autre que de l'équation du second degré vu que clairement, le couple (x',y) vérifiera la même équation que le couple (x,y).
Au niveau calculs, vu les relations coeff. / racines, on a x+x'=2Ny (et xx'=y²) donc x'=2Ny-x et si on veut revenir au problème de départ sans faire référence au changement de variable, il suffit de considérer l'image réciproque du couple (x',y) par la fonction (bijective) (a,b)->(a+b,a-b). Et bien sûr, cet image réciproque, c'est le couple (A,B) du post çi dessus.

Sinon, là :

...a et b étant supposés premier entre eux, il en est de même pour et . Or ceci contredit l'égalité de départ qui est équivalente avec

Perso, partant de , c'est à dire plus le fait que a² et b² sont premiers entre eux, ben tout ce que j'arrive à en déduire c'est que et que (avec entier), mais je vois pas bien où réside la contradiction...

P.S. Et concernant la prose de FLBP, ben je comprend que dalle à ce qu'il écrit.
Le seul truc que je crois comprendre, c'est qu'il veut montrer le résultat en montrant que sqrt((N+1)/(N-1)) n'est jamais un rationnel lorsque N est un naturel>=2, mais vu qu'en fait c'est la deuxième question de l'exercice posé à ayoubjab (c.f. son deuxième post), ben ça m'étonnerais que ce soit ça qui est attendu...

[aviateur]

Oui merci j'ai compris.

[Ben314]

Sinon, j'ai éventuellement une autre méthode plutôt plus simple :
En fait, .
Si on écrit que sous forme irréductible, c'est à dire avec , on a alors .
Sauf que donc la fraction est elle aussi irréductible et l'égalité (*) entraine l'égalité des numérateurs et celle des dénominateurs.
Ca signifie qu'on a c'est à dire que c'est à dire que .

[Lostounet]

Bonjour
@ben314, belle démonstration et particulièrement recherchée. Je me demande d'où vient cette idée de départ?

Je suis d'accord. Très élégante@

[aviateur]

Rebonjour

Perso, partant de , c'est à dire plus le fait que a² et b² sont premiers entre eux, ben tout ce que j'arrive à en déduire c'est que et que (avec entier), mais je vois pas bien où réside la contradiction...

En effet cela manque de détails, je suis allé un peu vite:
a^2(1-n)+b^2(1+n)=0 n'est pas possible car a et b ne pouvant être pairs tous les deux il se passent les choses suivantes:

si a et b sont impairs c'est impossible car modulo 4 on a 0=a^2(1-n)+b^2(1+n) =(1-n)+(1+n)=2 (imp).

donc l'un est pair et l'autre impair mais encore impossible en regardant l'exposant de 2.
Par exemple si a est pair , n+1 et n-1 sont pairs. Soit x l'exposant de 2 dans n-1 celui de 2 dans n+1 et 1.
Donc l'exposant de a^2(1-n) est au moins x+2 alors que celui de b^2(1+n) est seulement 1.
Idem si b est pair.

[Ben314]

Par exemple si a est pair , n+1 et n-1 sont pairs. Soit x l'exposant de 2 dans n-1 celui de 2 dans n+1 et 1. <= ??????
Donc l'exposant de a^2(1-n) est au moins x+2 alors que celui de b^2(1+n) est seulement 1.
Idem si b est pair.

Je comprend toujours pas bien : si b est impair et que l'exposant de 2 dans a est E (>=1) alors de (n-1)a^2=(n+1)b^2 tout ce que je déduit, c'est que 2^(2E) divise n+1 donc 4 divise n+1 et ça prouve que l'exposant de 2 dans n-1 est 1 mais je vois toujours pas de contradiction...

[aviateur]

Bonjour
(n-1)a^2=(n+1)b^2.
Le membre de gauche est pair et b^2 étant impair il vient que n+1 est pair. Il en est donc de même pour n-1.
n-1 étant exclus soit x(>=1) l'exposant de 2 dans n-1 et E l'exposant de A. L'exposant de 2 dans (n-1)a^2 est 2E+x>=3.
L'exposant de 2 dans n+1 est 1 si x>1. (n-1=2^x*c, donc n+1=2^x c+2=2(2^(x-1) c+1))
donc a gauche l'exposant est au moins 3 et à droite 1. C'est pas possible.
Donc si x=1; n-1=2 d (avec d impair) n+1=2d+2=2(d+1)
en divisant par 2 l'égalité on a :

a^2 d=b^2(d+1) ou encore d(a^2-b^2)=b^2. mais comme b^2 est premier avec a^2-b^2, b^2 divise d

donc d=z b^2 (z entier)

il vient z(a^2-b^2)=1=z(a-b)(a+b) là ce n'est pas possible non plus. ça marche?

Je suis désolé mais je vais travailler ... En tout cas merci @ben de relever mes imprécisions.
Je pense que le cas symétrique devrait marcher.
De toute façon je reste d'accord avec ta démo mais c'est toujours utile d'en voir d'autres.

[Pseuda]

Bonjour,

Bonjour,

On peut supposer a et b premiers entre eux, car sinon...on les divise par leur pgcd, bref déjà dit.

.

a et b premiers entre eux, donc a+b premier avec a et avec b, donc (a+b) divise 2, donc a+b= 1 ou 2. Impossible avec l'énoncé.

[Tiruxa47]

Bonjour,

Pour la question 2
Si on pose m=n+1 , on a rac(n)/rac(n+2)=rac(m-1)/rac(m+1)
Supposons que ce nombre soit élément de Q, il s'écrit alors p/q
on a rac(m-1)/rac(m+1) = p/q avec p et q dans N, avec p <q car m-1<m+1.
On élève au carré, (m-1)/(m+1)=p²/q²
ou mq²-q²=mp²+p²
ou m(q²-p²)=q²+p²
ou m=(q²+p²)/(q²-p²)
or m est entier ce qui est impossible d'après la question 1.

[aviateur]

Rebonjour

Oui@pseuda cela me semble correct mais alors pourquoi on ne l'a pas vu ?

[Pseuda]

Bonsoir aviateur,

Oui merci, bizarre, cette démo est pourtant simple.