Montrer la bijectivité

[J-R]

bonsoir,

sur wiki, pour montrer qu'une fonction est bijective il faut montrer qu'elle est injective et surjective.

or je pensais à ca: si on démontre qu'une fonction est continue et strictment croissante (ou décroissante), cela montre bien que la fonction est bijective ?

merci

[Joker62]

Continuïté + Strict Monotonie en effet

[J-R]

d'accord c'est bon

merci de la confirmation

a+

[quinto]

Bonsoir,
la continuité ne sert à rien.
La stricte monotonie permet de montrer que l'on a une fonction injective, mais ne montre absolument rien sur la surjectivité (même avec la continuité).

Il suffit par exemple de considérer la fonction arctan qui est strictement monotone sur R, continue (et même DES en tout point) mais non surjective de R dans R.

[emdro]

Effectivement, la stricte monotonie implique l'injectivité, et on n'est jamais surjectif que sur son image.

La continuité rend quand même de fiers services puisque, par le théorème des valeurs intermédaires, il assure que l'image d'un intervalle est un intervalle, ce qui simplifie considérablement le travail!

arctan réalise une bijection de IR sur ]-Pi/2;Pi/2[, et on est bien content qu'elle soit continue pour évacuer le problème de la surjectivité...

[J-R]

je ne comprend pas:

si une fonction est continue alors quelque soit le réel x, il a une image par cette fonction. Si en plus on montre que elle est strictement monotone cela prouve que chaque élément d'arrivé ont un antécédent et un seul ?

d'où la fonction est bijective...

ou est mon erreur de raisonnement

merci

[emdro]

si une fonction est continue alors quelque soit le réel x, il a une image par cette fonction. Si en plus on montre que elle est strictement monotone cela prouve que chaque élément d'arrivé ont un antécédent et un seul ?

d'où la fonction est bijective...

ou est mon erreur de raisonnement

Il y en a plusieurs:

Si la fonction est strictement monotone, chaque élément de l'ensemble d'arrivée a AU PLUS un antécédent. Mais il peut ne pas en avoir.
Pour la surjectivité, il ne s'agit pas de prouver que tout élément a une image, mais que tout élément de l'ensemble d'arrivée a un (au moins) antécédent.

D'après Quinto, par la fonction arctan, 10 n'a aucun antécédent. Ta fonction est pourtant continue et strictement croissante.

Elle croît de -Pi/2 à Pi/2. C'est pour cela que 10 n'a pas d'antécédent, et que ce n'est pas une bijection de IR sur IR.

En revanche, entre -Pi/2 et Pi/2, tout nombre a un antécédent (TVI) car elle est continue.

[Joker62]

Faut bien choisir les espaces de départ et d'arrivée en fait.

f : [-Pi/2;PI/2] -> [-1;1]
x -> sin(x)

Est bijective

Mais

f : [-Pi/2;Pi/2] -> R
x -> Sin(x)

Ne l'est pas

[J-R]

je crois que j'ai compris.

en fait f:x-->arctan(x) "n'atteint" jamais 10 donc f n'est pas bjective ....

auriez vous des exos car sur mon bouquin de TS il y a aucun mot la dessus....

merci

[emdro]

Normal, ce n'est pas au programme!

Ce qui est au programme, c'est le théorème de la bijection. Et là, je parie que tu as au moins 35 exos dans ton bouquin! :we:

[J-R]

ok ,tu veux parler du théorme des valeurs intermédiaires là.


je change de sujet: les équations fonctionnelles aussi ne sont pas vu en TS france ? (car en fait je me suis basé à partir d'un programme marocain qui me semble largement plus complet et complexe.... )

:)

[emdro]

Si, tu dois savoir déterminer les fonctions dérivables vérifiant:
f(x+y)=f(x)f(y)
ou f(xy)=f(x)+f(y)

Je donne aussi à mes élèves les solutions de
f(x+y)=f(x)+f(y)
et f(xy)=f(x)f(y)

[emdro]

Au passage, je ne voulais pas parler du TVI, qui affirme l'existence de solutions, mais du théorème de la bijection aussi appelé théorème de LA valeur intermédaire qui affirme l'existence d'une UNIQUE solution (en ajoutant l'hypothèse de stricte monotonie à celles du TVI).

[J-R]

ok je sais maintenant a quoi m'en tenir

merci