La méthode de Verhulst

[bully5]

bonsoir, je n'arrive pas à résoudre l'exercice pouvez-vous m'aider svp

Enoncé:
On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
On pose t=0 en 1980 et on sait que f(0)=0.01.
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution de l'équation différentielle :

E1 : y'=0.022y(20-y)

1. On pose u = 1/f
Démontrer que f est solution de (E1), si et seulement si, u est solution de l'équation différentielle :

E2: y'=-0.44y+0.022
Pour cette question j'ai trouvé
f=1/u
on dérive f
f'=-u'/u
on remplace u dans E1 et et cela donne u'=-0.44u+0.022

2. Résoudre l'équation (E2) et en déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E1).

3. Démontrer alors que la fonction f est définie sur [0.+oo[ par:

f(t)= 20 / (1+1999exp(-0.44t))

4a. Démontrer que pour tout réel t de [0;+[
0
b. En déduire sans calcul que f est strictement croissante sur [0;+[.

5. Calculer la limite de f(t) lorsque t tend vers +.

Je m'en sors pas du tout :cry:

[Florélianne]

Les solutions de l'équation : y = ay' + b
sont de la forme y= k exp(ax) -b/a
donc ici a = 0,44 et b = 0,022
on obtient que u(x)= k exp(-0,44x) + 0,022/0,44
ou u(x) = k exp(-0,44x) + 0,05

f(t) = 1/u
donc f(t) = 1/[k exp(-0,44t) + 0,05]
pour trouver la valeur de k on va utiliser la valeur pour t = 0
rappel exp(0) = 1
f(0) = 0,01
donc 0,01= 1/[k + 0,05] ou 0,01(k + 0,05) = 1
k + 0,05 = 100 donc k = 100-0,05= 99,95

f(t) = 1/[99,95 exp(-0,44t) + 0,05]
multiplions le tout par 20
f(t) = 20/[1999 exp(-0,44t) +1]

4) pour tout t de IR+
la fonction exp est toujours positive
exp(-0,44t) > 0 donc 1999 exp(-0,44t) > 0
donc 1999 exp(-0,44t) + 1 > 0 et comme 20 >0
f(t) > 0

1999 exp(-0,44t) > 0
donc 1999 exp(-0,44t) + 1 > 1
donc 1/[1999 exp(-0,44t) +1] 0 0,022f(t) > 0
comme f(t) 0
un produit de nombres positifs est positif
donc y'= f'(t) > o pour tout t de IR+
donc f est croissante sur IR+

5) quand t tend vers + infini :
- 0,44t tend vers -infini donc exp(-0,44t) tend vers 0
donc 1999 exp(-0,44t) tend vers 0
f(t) tend vers 20/1 = 20
la limite de f(t) quand t tend vers + infini est 20

finalement il faisait peur mais n'était pas bien méchant !
J'aurais dû m'y risquer avant...
avec mes excuses pour le retard..