Méthode pour vérifier ses dérivées.

[Trident]

Bonjour à tous, j'espère que vous conserverez ce post car je vais décrire une méthode pour vérifier si l'on ne sait pas trompé lors du calcul de la dérivée d'une fonction.
J'ai trouvé cette méthode tout seul mais je suis sûr que d'autres sur le forum y ont pensé, mais pour ceux qui n'y auraient pas pensé, il faut simplement se ramener à la définition.

Travaillons avec un exemple simple pour mieux comprendre .

Consigne : Dérivez la fonction suivante : définie sur .

est dérivable sur et

Vérifions cela en se ramenant à la définition.

On sait que

On va donc choisir un nombre qui fait parti de l'ensemble de définition (ici pas de problème, c'est R). En général, quand je vérifie moi, je choisis un nombre quelconque , par exemple 7.
On choisis très petit, par exemple et on peut se lancer dans ses vérifications.

On calcul , ce qui revient à remplacer par un nombre très petit (on a choisi 0.0001 = x ) et a remplacer par 3 dans notre exemple.

Allons y donc :
Disons que c'est environ égal à 27.

Ce résultat s'obtient bien évidemment rapidement à la calculatrice.

Si notre dérivée est juste, on devrait obtenir la même chose lorsqu'on remplace par 3 dans l'expression . Donc calculons en faite
.

Youpi, on a bien !
Donc notre dérivée est juste !

Cette technique peut s'avérer très utile lorsque les dérivées sont compliquées comme quand on a des racines ou des sinus.
J'espère que ce post sera conservé dans les "importants". Merci à vous.

[Rebelle_]

Bonjour =)

Ta méthode marche bien, elle revient en effet à considérer la définition de la dérivée - ce qui en soit est une bonne démarche. Il me semble toutefois qu'il faille bien préciser certaines choses, comme le fait que a+h appartienne bien à l'ensemble de définition par exemple. Ici cela semble évident mais ce n'est pas nécessairement toujours le cas.
Il me semble aussi que ces calculs soient un peu lourds dans certaines situations ; m'est avis qu'il peut être utile de bien connaître ses formules pour être finalement sûr de ne pas faire d'erreur ;) Note d'ailleurs que lesdites formules découlent du taux de variation que tu cites ici :)

[Trident]

Bonjour =)

Ta méthode marche bien, elle revient en effet à considérer la définition de la dérivée - ce qui en soit est une bonne démarche. Il me semble toutefois qu'il faille bien préciser certaines choses, comme le fait que a+h appartienne bien à l'ensemble de définition par exemple. Ici cela semble évident mais ce n'est pas nécessairement toujours le cas.
Il me semble aussi que ces calculs soient un peu lourds dans certaines situations ; m'est avis qu'il peut être utile de bien connaître ses formules pour être finalement sûr de ne pas faire d'erreur Note d'ailleurs que lesdites formules découlent du taux de variation que tu cites ici

Oui , j'ai oublé de présicer pour l'ensemble de définition.
Pour ce qui est de la complexité des calculs, par expérience, ça ne pose pas de problèmes avec l'habitude, c'est la calculatrice qui fait tout. :we:

[Nightmare]

Salut,

pour moi les formules de dérivation étant beaucoup plus facile à apprendre par coeur et appliquer que la méthode pour les retrouver, je pense que c'est plutôt la vérification contraire qui est judicieuse, à savoir quand on demande de calculer le nombre dérivée en un certain point, le faire avec le taux de variation, puis vérifier en dérivant la fonction qu'on ne s'est pas trompé.

Par exemple si je prends la fonction que je demande de dériver, ce n'est pas dur, par contre vérifier le résultat avec le taux de variation, même si ce n'est pas dur non plus, c'est une vraie perte de temps en DS !

[Trident]

Salut,

pour moi les formules de dérivation étant beaucoup plus facile à apprendre par coeur et appliquer que la méthode pour les retrouver, je pense que c'est plutôt la vérification contraire qui est judicieuse, à savoir quand on demande de calculer le nombre dérivée en un certain point, le faire avec le taux de variation, puis vérifier en dérivant la fonction qu'on ne s'est pas trompé.

Par exemple si je prends la fonction que je demande de dériver, ce n'est pas dur, par contre vérifier le résultat avec le taux de variation, même si ce n'est pas dur non plus, c'est une vraie perte de temps en DS !

A la calculatrice , ça me prend pas moins de 30 secondes. :zen:
Pour ta dérivée, je trouve ( x^2 cos(x) + cos(x) + x sin (x) ) / Racine de ( x^2 +1 ) .
En 30 secondes à la calto,


en remplacent x par (8+0.001), et en appliquant ce que j'ai expliqué avant , on trouve environ -0.195.

On fait la même chose avec ma dérivée trouvée et je trouve en remplacent x par 8, -0.191 et on est bien content :we: .
Sa sert ça quand on demande un tableau de variations etc pour éviter qu'on se lance sur des trucs faux.

[Nightmare]

De quoi est-on bien content? Pour vérifier la véracité d'une formule, tu la vérifies en un point, c'est assez gênant lorsque la formule est censée être vraie pour une infinité !

En fait ta vérification ne me parait vraiment pas naturelle, étant donné que comme je l'ai dit, c'est le chemin inverse qu'on fait.

C'est un peu comme si je te demandais de vérifier que 1 est solution de l'équation du second degré x²+x-2, et qu'en réponse tu me calcules les racines avec la formule du discriminant...

[Ben314]

Perso, je trouve que ton idée de "vérification à la machine" n'est pas si mauvaise que ça : elle permet en particulier de garder en permanence à l'esprit quelle est la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point.
MAIS
1) Il y a de plus en plus de calculettes qui font du "calcul formel", c'est à dire que tu leur donne "direct" la formule X^3+5, puis tu demande de dériver et elles t'affiche 3X^2.
2) Ta méthode a un gros problème lié à la précision des machines : elles ne font des calculs qu'avec 10 ou 12 chiffres de précision et, lorsque tu calcule f(x+h) et f(x), évidement, ils sont très très proches l'un de l'autre et, en particulier si tu prend h trop petit, il est fort probable que, pour la machine, f(x+h)-f(x) soit égal exactement à 0 (ou alors qu'il soit franchement faux) donc, dans ta méthode, il faut prendre garde à ne prendre h ni trop petit, ni trop grand et ce n'est pas toujours évident : le choix de h=10^(-4) parrait "assez raisonable" pour des fonction "pas trop méchantes".

Pour voir, essaye ta méthode (à la machine) avec h=10^(-15)...

[Trident]

Perso, je trouve que ton idée de "vérification à la machine" n'est pas si mauvaise que ça : elle permet en particulier de garder en permanence à l'esprit quelle est la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point.
MAIS
1) Il y a de plus en plus de calculettes qui font du "calcul formel", c'est à dire que tu leur donne "direct" la formule X^3+5, puis tu demande de dériver et elles t'affiche 3X^2.
2) Ta méthode a un gros problème lié à la précision des machines : elles ne font des calculs qu'avec 10 ou 12 chiffres de précision et, lorsque tu calcule f(x+h) et f(x), évidement, ils sont très très proches l'un de l'autre et, en particulier si tu prend h trop petit, il est fort probable que, pour la machine, f(x+h)-f(x) soit égal exactement à 0 (ou alors qu'il soit franchement faux) donc, dans ta méthode, il faut prendre garde à ne prendre h ni trop petit, ni trop grand et ce n'est pas toujours évident : le choix de h=10^(-4) parrait "assez raisonable" pour des fonction "pas trop méchantes".

Pour voir, essaye ta méthode (à la machine) avec h=10^(-15)...

Tu as exactement raison Ben, j'ai pris h=10^(-15) et le résultat est pile 0.
Je ferais donc bien attention à ça.

Nightmare, si c'est vrai en a= 8 par exemple, c'est vrai pour tout, ne chipotons pas. La probabilité pour qu'on obtienne 2 résultats identiques alors que notre dérivée est fausse ne doit pas bien être élevée.

[Nightmare]

Nightmare, si c'est vrai en a= 8 par exemple, c'est vrai pour tout, ne chipotons pas. La probabilité pour qu'on obtienne 2 résultats identiques alors que notre dérivée est fausse ne doit pas bien être élevée.

Ben, en fait si !

[Trident]

Ben, en fait si !

Ah bon ? Elle est de combien ? :zen:
Et trouves moi une dérivée fausse qui aurait pu s'obtenir accidentellement dont le nombre dérivé est égal au rapport f(a+h) - f(a) / h. :id:

[Nightmare]

f(x)=x², je postule que f'(x)=2/x

On vérifie : . En prenant h=0,000000000001, le rapport vaut 2,00000000000001. On a bien f'(1)=2, donc notre dérivée est bonne...

Je cherche la petite bête, il est souvent utile pour vérifier un résultat de le faire pour quelques valeurs, mais ici je trouve ça vraiment peu naturel, quoi qu'en dise Ben (pour une fois, faut bien qu'on soit en désaccord)

[Trident]

f(x)=x², je postule que f'(x)=2/x

On vérifie : . En prenant h=0,000000000001, le rapport vaut 2,00000000000001. On a bien f'(1)=2, donc notre dérivée est bonne...

Je cherche la petite bête, il est souvent utile pour vérifier un résultat de le faire pour quelques valeurs, mais ici je trouve ça vraiment peu naturel, quoi qu'en dise Ben (pour une fois, faut bien qu'on soit en désaccord)

dérivée fausse qui aurait pu s'obtenir accidentellement

Lol, faut être assez mal renseigné sur le cours pour écrire f'(x)=2/x . Voilà pourquoi c'est quasi impossible. Et pour les fonctions "méchantes" (le seul cas où on pourrait vérifier car je vérifie pas les simples quand même), ça doit être plus dur à en trouver.

Dans ton message de 13H01, tu dis :
"C'est un peu comme si je te demandais de vérifier que 1 est solution de l'équation du second degré x²+x-2, et qu'en réponse tu me calcules les racines avec la formule du discriminant..."

Nan c'est pas comme si ça lol, car il s'agit simplement de remplacer x par 1 et on est sûr qu'on a la bonne équation x²+x-2 = 0 puisque c'est dit dans ta consigne.

La il s'agit de trouver la dérivée, on ne nous donne rien de sûr sauf la fonction de départ, c'est pour ça que je me base sur elle pour vérifier.
Imagine je trouve un truc du genre x²cosx + (x^3)^-1/2 , je vais me dire :doh: :doh: , et je serais obligé de vérifier avant de me lancer dans le tableau de signe + variation , dans le calcul des tangente au point d'abscisses a, b c, à la détermination de la position relative de yT et Cf etc...
Si j'ai une méthode pour vérifier cela, je ne vais pas m'en priver car si c'est faux, en général la note ne dépasse pas la moyenne sur cet exercice. Alors même si elle n'est pas "naturelle" , elle se fait à la calculatrice donc il y a un certain degré d'infaillibilité et ça me prend que 30 secondes.

Toi tu penses qu'il faudrait faire le contraire, oui, ça marche sur des fonctions pas méchantes mais pour sinx racine de (x²+1), si on me demande le nombre dérivé en 3.
Je le fais et je préfère largement taper à ma calculatrice :
sin(3+0.001) * racine de( (3+0.001)²+1) , je tape "égal".
Ensuite ; Ans - [ sin(3) * V(3²+1) ] , puis "égal".
Puis Ans / 0.001, et c'est fini , j'ai vérifié.

De plus lorsqu'on nous demande d'étudier la dérivabilité en a, on ne peut pas l'appliquer directement sur les formules de dérivée en général, n'est-ce pas Nightmare ?
Consigne : Etudiez la dérivabilité en 0 de la fonction qui à x associe Racine de x.
On le fait et comment vérifie-t-on selon toi?

Réponds point par point lol pour ne rien oublier . :happy2:

[Trident]

I'm waiting your answer Nightmare. :id: