Maximum d'une fonction trigo

[snoopye68]

Bonjour à tous,

Je demande votre aide car je bloque à la dernière question de mon DM en mathématqiues pour la rentrée.

Soit a,b,c trois réels positifs tels que : a+b+c = pi/2
On cherche à déterminer le maximum de sin a X sin b X sin c.
1. Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par f(x) = x(1-x)
(ça je l'ai fait)
2. Montrer que pour tous réels a et b,
sin a cos (a+b) = 0.5[sin(2a+b)-sinb]
(ça je l'ai fait aussi)
3.Des deux questions précédentes, déduire la valeur maximale de: sin a X sin b X sinc
(c'est là que je ne vois pas le rapport avec les 2 questions précédentes, je tourne en rond sans pouvoir y arriver)... :briques:

Merci de me donner un petit coup de main pour cette dernière question....

[armor92]

Bonjour,

Comme c = pi/2 - ( a + b ), on a sin c = cos ( a + b )

sin a X sin b X sin c = sin a X sin b X cos ( a + b ) = 1/2 (sin ( 2 a + b ) - sin b ) sin b

On doit trouver le max de la fonction 1/2 (sin ( 2 a + b ) - sin b ) sin b, avec a et b quelconque.

On peut d'abord considérer b comme étant fixé, et faire varier a.
On doit chercher le max de la fonction de a :
f(a) = 1/2 (sin ( 2 a + b ) - sin b ) sin b.

Posons K = sin b = constante.

Si sin b = K > 0

f(a) = 1/2 (sin ( 2a + b ) * K - K² )

K étant une constante, on voit que le maximum de la fonction de a est atteint pour sin ( 2a + b ) = 1.
Max ( f(a) ) = 1/2 * (K - K²)= 1/2 K(1 - K)

Cette fois on fait varier b, c'est à dire K, pour rechercher le maximum absolu de la fonction (pour a et b quelconque).

Comme on a fait l'étude de la fonction x(1 - x), on a montré que le maximum de cette fonction est atteint pour x = 1 / 2, x(1 - x) valant alors 1/4

Le maximum absolu est atteint pour sin b = K = 1/2, K ( 1 - K ) = 1/4

Donc Max (sina X sin b X sin c) = 1/8

Le raisonnement est analogue si on suppose K = sin b < 0

[snoopye68]

Merci beaucoup, j'avais fait comme vous au départ. J'en étais arrivé à la relation: sin c = cos (a+b) mais ensuite je n'ai pas pensé à fixer une constante pour m'en sortir....

Mille merci encore!