DM de maths [1ere S]

[haricot29]

:doh: Coucou tout le monde, voila pour la rentrée j'ai comme tout le monde je pense pas mal de taff a faire... ééé oui !!! Et j'ai pratiquement tous fait sauf un fameux DM de maths... Et j'avoue que s'il y avait quelqu'un qui serait ok de me donnait un petit coup de pouce ce serait hyper simpa !!! Voila merci d'avance a ceux qui prendront 5min de leur temps pour m'aider.....

Enoncé :
Soit un triangle équilatéral ABC de hauteur h.
Soient 3 nombres réels strictement positifs a, b et c.
On considère le point M barycentre de {(A;a) ; ( B;b) ; (C;c)}.

On note Ga, Gb et Gc les barycentres respectifs de :
{(B;b) ; (C;c)} , {(A;a) ; (C;c)} , {(A;a) ; (B;b)}.

Questions :
1/ Justifier que le point Ga appartient au segment ]BC[ et que le point M appartient au segment ]AGa[, donc que le point M est à l'intérieur du triangle ABC.

2/ Le point M se projette orthogonalement sur les droites (BC), (AC) et (AB) respectivement en Ha, Hb et Hc.
On pose MHa = x , MHb = y et MHc = z.

a/ On suppose que b=c.
Montrer que M appartient à la hauteur issue de A. Calculer x en fonction de a, b et h.
b/ On suppose que b différent de c.
En utilisant le point Ga, exprimer x en fonction de a, b, c et h.
c/ Déduire de ce qui précède que M est le barycentre de {(A;x) ; ( B;y) ; (C;z)}.
d/ Montrer que la somme des distances d'un point M, intérieur au triangle équilatéral, aux côtés de ce triangle est indépendante de M.

3/ Application:
Construire le point M tel que : x = h/3 et y = h/2.
Calculer z en fonction de h.
Trouver les réels a, b et c tels que a + b + c =1, et tels que M soit le barycentre de {(A;a) ; ( B;b) ; (C;c)}.

Je suis entrain d'essayer de le faire de mon côté, je pense mettre ce soir ou demain mes résultats pour que l'on puisse me corriger... Voila merci d'avance car je sais que sur ce forum en général les gens sont assez simpa pour aider à faire les exos et pour dire si ce que l'on fait est correct ou non ?! Donc voila et puis bien sur BONNE FETE DE FIN D'ANNEE A TOUS

[haricot29]

Réponses :
1/ Justifier que le point Ga appartient au segment ]BC[ et que le point M appartient au segment ]AGa[, donc que le point M est à l'intérieur du triangle ABC.

- Ga bary de {(B;b) (C;c)} avec b et c réels strictement positifs donc obligatoirement Ga E ]BC[.
- M bary de {(A;a) (B;b) (C;c)}, or Ga bary de {(B;b) (C;c)} donc M bary de {(A;a) (Ga;b+c)} donc M E ]AGa[ car a,b et c réels strictements positifs, donc M se trouve à l'intérieur du triangle ABC.

Correct ??? :doh:

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2/ Le point M se projette orthogonalement sur les droites (BC), (AC) et (AB) respectivement en Ha, Hb et Hc.
On pose MHa = x , MHb = y et MHc = z.

a/ On suppose que b=c.
Montrer que M appartient à la hauteur issue de A. Calculer x en fonction de a, b et h.

- M bary de {(A;a) (B;b) (C;c)}
si b=c alors Ha est l'isobarycentre de {(B;b) (C;c)} donc M bary de {(A;a) (Ha; b+c)}; on sait que Ha = m [BC] donc [AHa] est la hauteur issue de A donc M E à la hauteur issue de A.
- Calculer x : petit soucis je ne vois pas trop comment faire un tit coup de pouce ??!!! :id: Merci

b/ On suppose que b différent de c.
En utilisant le point Ga, exprimer x en fonction de a, b, c et h.

- Calcul x : meme probleme que pour la question précédente je ne vois pas par ou commencer... :id: indice ??!!

[haricot29]

2/ a/ .... (2eme partie de la question) Calculer x en fonction de a, b et h :

Pour la notation, je vais opter pour : !AB = vecteur AB
M barycentre de {(A;a) ; (Ga;b+c)} on a
a!MA+(b+c)!MGa=!0
En ayant M sur ]AGa[ et a, b et c strictement positifs, on peut déduire pour les distances :
a MA = (b+c) MGa = 2b MGa puisque b=c
AGa=AM+MGa
On a AGa=h
AM=(2b/a)x
MGa=x
Bref: h=(2b/a)x+x
h=(1+(2b/a))x=((a+2b)/a)x
x=ah/(a+2b)

C'est correct ??!!! :hein: :hein:
PERSONNE NE VEUT JETER UN COUP D'OEIL ???? :doh: :doh: