DM de Maths sur nombres complexes

[matheuse2001]

Bonjour ou Bonsoir en fonction de l'heure à laquelle vous me lisez.
Je vous explique mon problème mon professeur nous a donné un dm avec beaucoup d'exercices à rendre pour la rentrée et je m'y suis attaqué dès le début des vacances mais je suis restée bloquée sur 2 exercices. Malgré tout le temps dont j'ai disposé je n'ai pas réussi à les faire donc votre aide serait la bienvenue.
Voici les énoncés:
Exercice1: Soit P(z) un polynôme à coefficients tous réels. Montre que si z1 est une racine de P alors le conjugué de z1 est aussi une racine de P.
(Alors pour cette exercice j'ai d'abord écrit: az^n + bz^n-1 +...+yz+ nombre réel et j'ai ensuite remplace le z par x+iy puis par x-iy mais ça ne m'a pas du tout aidé!)
Exercice 2:
1 Soit z un nombre complexe de forme algébrique x+iy. Justifier que 0*z=0
2Soit e et Z deux nombres complexes tels que z*Z=0
a Démontrer que si z n'est pas égal à 0 alors Z=0 (Astuce : Utiliser l'inverse de z)
b Formuler la propriété ainsi démontrée.
3 Résoudre dans C l'équation suivante:
(z^2 -4)*(z^2+4)=0
(La question 1 me semble logique donc je ne vois pas ce qu'on attend de moi. Pour la question 2 a il me faut la question 1 et de même pour la question 2b. Pour la question 3 j'ai utilise tout d'abord les idd remarquables puis j'ai isolé mon z. J'ai donc: z^4 -16=0 -> z^4=16 -> z= 4racine carré de 16)
Merci d'avance pour votre aide!

[mathelot]

bonsoir (il est 19h38),

je te fais la question 1 sur un exemple:
P(z)=z^2+z+1

Si z est racine

on conjugue




donc est racine du même polynôme

[matheuse2001]

Ohhh d'accord je vois!! J'ai compris pourquoi je n'y arrivais pas. J'avais complètement oublié qu'être racine d'un polynôme signifiait que (par exemple) P(z1)=0 . Moi je pensais aux racines carrées.
Merci de ton aide!!

[chan79]

salut
pour la 3
l'équation équivaut à z²-4 =0 ou z²+4=0
ce qui te fait 4 solutions

[Carpate]

z^4 -16=0 -> z^4=16 -> z= 4racine carré de 16)

D'abord
Mais n'est pas équivalent à
Dans un souci de simplifiaction au lieu de développer tu pourrais factoriser (c'est bien le but final)


Mais puisque tu as choisi de développer et obtenu , il faut trouver tel que
soit et

[mathelot]

Pour la 2;
0.z+1.z=(0+1).z=1.z
0.z=0
Question suivante:
z. Z=0
1er cas:
z=0 d'après la question précédente.
2eme cas:
z<>0
z possède un inverse z', tel que z'. z=1
z.Z=0
z'.(z. Z) =0
(z'.z).Z=0
1.Z=0
Z=0

[matheuse2001]

Okay Merci beaucoup pour vos aides!! Normalement j'ai bien compris merci beaucoup à vous!! Passez de bonnes fin de vacances si vous ne travaillez pas!!