Maths spé [ TS]

[lilou942]

Bonjour,

j'aurais besoin d'aide sur l'exercice suivant d'un DM de spécialité en arithmétique où j'ai beaucoup de difficultés:

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et k un entier compris strictement entre 0 et n.
On cherche à répondre à la question suivante: la table des kx modulo n pour 0<ou= x <ou= n-1 donne-t-elle tous les entiers de 0 à n-1, ou au contraire certains entiers apparaissent-ils plusieurs fois et d'autres pas?

I] Répondre à la question lorsque n=5 et k=4.

II] 1) Supposons n un nombre premier.

a) Justifier que pour tous entiers k et x compris strictement entre 0 et n, kx n'est pas un multiple de n. On pourra admettre que si a et b sont premiers avec r, alors ab l'est aussi.

b) On suppose dans cette question qu'il existe trois entiers x, k et k' compris strictement entre 0 et n tels que kx congru k'x (n). Montrer que k=k' .

c) Répondre en justifiant à la question de l'intro dans le cas où n est premier.


Voilà, pour la question I] je trouve que ts les entiers apparaissent , mais je ne sais pas du tout comment partir pour la question II] , auriez-vous des pistes ?

Merci bien

[Huppasacee]

Bonjour

n'as tu pas un théorème disant

si a divise bc et a premier avec b , alors a divise c ?

[lilou942]

Euh non, on en est au théorème de Bezout:
Deux entiers a et b sont premiers entre eux si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv= 1

[Huppasacee]

Suppose alors que n divise kx
n étant premier, il devrait apparaître dans la décomposition de kx en facteurs premiers ........

[lilou942]

Merci de prendre de votre temps;
Comment ça en décomposition de facteurs premiers?

kx= q n ? (avec q un entier relatif.)

[lilou942]

Ou faudrait-il utiliser les congruences?

[Huppasacee]

Si n divise kx
n donc des diviseurs premiers en commun avec kx
or les diviseurs premiers de kx sont les diviseurs premiers de k ou de x
qui sont donc inférieurs à k et à x, donc inférieurs à n ....

[lilou942]

donc kx ne peut pas être un multiple de n.
Merci,

[lilou942]

Bonsoir;
Par contre, pour montrer que k=k' , comment faire?

[Huppasacee]

k et k' compris strictement entre 0 et n tels que kx congru k'x (n). Montrer que k=k' .

écris que
kx et k'x ont le même reste dans la division par n

kx = p n + r
k'x = q n + r

soustrais les 2 lignes
et utilise la première question