DM Maths 1S (Parabole & Tangente)

[Anth0w]

Bonjour,
alors, mon professeur nous a donné un DM pour Lundi sur les Paraboles et les Tangentes qu'on a encore jamais étudiées ..

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On se propose de démontrer qu'une droite D est tangente à une parabole C si, et seulement si, D coupe C en deux points confondus (ou: un point double). On admettra qu'on ne restreint pas la généralité (quitte à faire un changement de repère) en prenant y=ax² (a different de 0) pour équation de C dans un repère (O,i,j)

1. Soit M(x,y) un point de C. Formez une équation cartésienne de la tangente D à C en M et vérifiez que l'équation qui donne les abcisses éventuelles des points communs à C et D admet x pour racine double: on dit que l'intersection de X et D est constituée par le point double M (ou encore: par deux points confondus en M).

2 Soit D une droite d'équation cartésienne y=px+q
a. Démontrez que D coupe C en deux points confondus en I si, et seulement si, q=-p²/4a. Trouvez les coordonnées de I.
b. Formez une équation cartésienne de la tangente I à C; vérifiez que cette tangente est D.

3. Soit D une droite d'équation x=k (k appartient à R)
a. D peut-elle couper X en deux points confondus?
b. D peut-elle être tangente à C?

4. Concluez.

5. Application. Trouvez les équation cartésiennes y=ax²+bx+c des paraboles C' et C'' qui passent par les points A(0,6); B(1,3), et qui sont tangentes à la droite L d'quation y=2x-3. Tracez C' et C'' après avoir précisé leurs points de contact avec L.

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Je bloque déjà depuis la toute première question..
Merci d'avance ..

[rene38]

Bonjour

Je bloque déjà depuis la toute première question..

Dans ton cours, tu as une équation de la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction.

[Anth0w]

Dans ton cours, tu as une équation de la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction.

Justement, nous n'avons rien travaillé dessus. C'est la première fois de l'année que j'entend parler de "Tangente", et ça tombe sur un DM. Il n'y a pas non plus d'indications dans le manuel sauf peut-être dans le chapitre des dérivés?

[Anth0w]

Erreur dans l'énoncé:
On se propose de démontrer qu'une droite D est tangente à une parabole C si, et seulement si, D coupe C en deux points confondus (ou: un point double)

[bitonio]

J'ai du mal à concevoir qu'un prof donne un devoir sans avoir fait le cours (tu serrais dans le supérieur je dis pas!)
De plus, tu ne me ferras pas croire qu'il n'y a rien dans ton livre ....

Faut arrêter de toujours vouloir trouver des excuses, surtout que ca se voit !!! (alala les jeunes ils savent pas mentir!)

Equation de la tangente
voila!

Ciao

[bdupont]

Salut,
Le problème permet d'étudier la tangente comme on le faisait avant la découverte du calcul différentiel.
L'idée est de considérer une droite qui coupe la parabole au point M. En général on a un deuxième point sur cette droite qui coupe la parabole. On se dit alors que si ces deux points se rapprochaient pour n'en faire qu'un alors la droite serait la tangente en M.
D'où le système d'équation
y=ax2+bx+c
y=a'x+b'
qui donne ax2+(b-a')x+(c-b')=0
Si l'on veut que cette équation n'ait qu'une solution il nous faut un discriminant nul. (Ne pas perdre de vue que les inconnues sont a' et b').
Ensuite on utilise le fait que la droite passe par M dont on connait les coordonnées. D'où 2 équations en a' et b' et le tour est joué.

Dans ce problème la difficulté tient essentiellement aux notations: le point M devrait avoir pour coordonnées (xm, ym) pour éviter les confusions.
Pour mieux comprendre je te conseille de traiter la question avec un cas particulier (C0 parabole d'équation y=2x2-x+3 et M(1,4))

[bdupont]

Cela dit l'énoncé est curieux. Il semble supposer que l'élève connaisse l'équation de la tangente à partir de la dérivée, ce qui es l'aboutissement de l'année de première plutôt qu'un petit truc en passant lancé comme ça pour occuper le mois de septembre agréablement.

[Anth0w]

Tout d'abord, merci pour ta réponse, je pense que c'est bien le chemin que le professeur veut que l'on prenne pour ce problème.

Ensuite on utilise le fait que la droite passe par M dont on connait les coordonnées. D'où 2 équations en a' et b' et le tour est joué.

Qu'a-t-on avec le point M(1,4) dans le cas de y=2x²-x+3 ?

Merci.

[Anth0w]

Ensuite on utilise le fait que la droite passe par M dont on connait les coordonnées. D'où 2 équations en a' et b' et le tour est joué.

pour M (xm,ym)
j'obtiens le système d'équation
a'²+4ab'=0
ym=a'xm+b'

Je développe tout ceci, et je bloque sur:
a'²+4aym-4aa'xm=0

Merci de ton aide! ^^

[Anth0w]

Je pense réellement que c'est la voie où mon professeur veut que l'on passe.. si quelqu'un a d'autre idée pour cette piste ?..

[Anth0w]

Je pense réellement que c'est la voie où mon professeur veut que l'on passe.. si quelqu'un a d'autre idée pour cette piste ?..

[bdupont]

Pour la question 2:
y=ax² (simplification suggérée par l'énoncé) et y=px+q
D'où ax²-px-q=0. Solution double ssi discriminant nul ssi q=p²/4a
ax²-px-q = a(x²-px/a-p²/4a²)=a(x-p/2a)²
ax²-px-q = 0 ssi x=p/2a et donc y=ax²=p²/4a

Pour la suite je ne vois pas trop comment traiter la question sans recourir aux dérivées.L'énoncé ne me semble pas adapté à un niveau de début d'année.