Maths expertes: nombres complexes.

[JolanBoucheix]

Bonjour, j’ai un devoir de maths expertes à rendre dans quelques jours et je bloque sur un exercice:

Exercice 4:

Pour tout nombre complexe z, on pose

1) Expliquer pourquoi z’ est bien défini quel que soit le nombre complexe z.
2) Démontrer que z’ est réel si et seulement si
3) En déduire l’ensemble des nombres complexes z tels que z’ soit un réel.

Je n’ai pas de problème avec la question 1, mais la 2 me bloque: en calculant tout ça, je trouve:

-4xyi = 4i

Je me doute que je dois le simplifier (je peux aller jusque xy = -1), mais je ne sais pas quoi en dire afin de prouver que z’ est bien un réel. Etant donné qu’il faut déduire la question 3 de la question 2, je suis donc bloqué ici. J’espère vous pourrez m’aider

[Pisigma]

Bonjour,

réel

[Black Jack]

Bonjour,

2)
(z*z(barre) + 1 ) est réel et n'est jamais nul (facile à démontrer)
Donc z' sera réel si (z²+2i) est réel ... donc si la partie imaginaire de (z²+2i) est nulle

avec z = x+iy,
z²+2i = x²-y² + 2i(1+xy)
--> z' est réel si 1+xy = 0, donc si xy = -1

Et avec ce que tu as déjà fait ...

[Pisigma]

plus rapide !

réel



on peut simplifier et

[JolanBoucheix]

Merci pour vos réponses! Je suis donc passé à la question 3, où on doit déduire toutes les valeurs de z telles que z soit réel.

Je suis donc parti du principe que pour que z’ soit réel, il faut que z²+2i iR, càd que Re(z²+2i)=0.

J’ai donc calculé ça en remplaçant z par x+iy, et ça donne du coup:
x²-y²=0
x-y=0
x=y, et par déduction Re(z) = Im(z). Donc je dois dire que z’ est réel pour tout z à parties imaginaires et réelles égales?

[Pisigma]

Je suis donc parti du principe que pour que z’ soit réel, il faut que z²+2i iR, càd que Re(z²+2i)=0.

J’ai donc calculé ça en remplaçant z par x+iy, et ça donne du coup:
à revoir à partir d'ici : Re(z²+2i)=0, car il y a beaucoup d'erreurs dans ce qui suit!!

[JolanBoucheix]

z²+2i = (x+iy)² + 2i = x²- y² + 2ixy + 2i = x²- y² + i(2xy + 2), non? Avec Re= x²- y², et Im= 2xy + 2?

J’avoue que je suis un peu perdu sur cette dernière question..

[Pisigma]

et tu souhaites que la partie imaginaire soit nulle donc...

[Pisigma]

remarque que Black Jack t'as déjà donné la réponse

[JolanBoucheix]

Je peux juste dire qu’il faut que xy= -1? En fait je pensais qu’il y aurait d’autres justifications à faire, ou des simplifications en plus

[Pisigma]

xy=-1 représente quelle courbe?

[JolanBoucheix]

c’est une fonction inverse je crois, donc une parabole

[Pisigma]

non, la représentation de la fonction est une hyperbole équilatère(rapportée à ses asymptotes)

dessine la pour avoir une idée de "sa tête"