Mathématiques approfondies

[JérémyDubois]

Bonjour, je m'exerçais en maths et puis j'ai trouvé ces exos dont j'ignore la démarche à suivre. Pourriez-vous me venir en aide .

1)Déterminez tous les triplets (a,b,c ) d'entiers naturels non nuls tel que :


2)Trouver le plus petit réel k > 0 tel
que pour tout triplet (a, b, c) appartenant à R^3.

3)Résoudre l'équation:
sinx + cosx = 2sinx.cosx

4)Résoudre, dans les réels, le système d'équations:

[pascal16]

pour la 2 :
(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

or (a-b)²= a²-2ab+b²
donc a²-2ab+b² >=0
c'est à dire 2ab <= a²+b²

(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca <= a²+b²+c² + (a²+b²)+(b²+c²)+(a²+c²) = 3(a²+b²+c²)

or si a=b=c, k= 3 est le minimum, donc k=3 convient

[PS] si un ou plusieurs nombre est négatif, l'inégalité reste encore vraie

[pascal16]

pour la 4.
il y a 9 réponses.
on peut ajouter les deux équations et mettre la somme sous la forme :
(x+y)((x+y)²+(4xy-5))=0
cela sépare les solutions en 2 :
soit x+y=0, on résout, et on trouve 0; -sqrt(5/8) et + sqrt(5/8)
soit (x+y)²+(4xy-5)=0.... reste 6 solutions et j'ai pas trouvé une façon simple d'y arriver (sans changement de variable de conique)

je pense qu'en soustrayant, on doit pouvoir mettre x-y en facteur, et trouver 2 racines de plus

[pascal16]

pour la 3, il y a des pros de ces équations qui connaissent toutes est astuces par coeur suivant le type d'équation.

niveau term :
on peut transformer à droite en (sin(x)+cos(x))²-1 ou mettre l'équation au carré
on pose X=sin(x)+cos(x) ou Y =sin(x)cos(x)
on résout en X

pour remonter à x
X= sin(x)+cos(x)
X=(sin(x)*cos(pi/4)+cos(x)sin(pi/4))*racine(2)
X=sin(x+pi/4)*racine(2)

[Lostounet]

Bonjour, je m'exerçais en maths et puis j'ai trouvé ces exos dont j'ignore la démarche à suivre. Pourriez-vous me venir en aide .

1)Déterminez tous les triplets (a,b,c ) d'entiers naturels non nuls tel que :

Salut,

On constate que si (a ; b ; c) vérifie l'équation, alors (-a;-b;-c) aussi (ou tout autre combinaison comme (-a;b;c), ou encore (a ; -b; c) etc mais on cherche seulement des entiers naturels !). On peut par ailleurs supposer que , ce qui signifie:


Alors la quantité


Ce qui signifie que


Puis que , ce qui signifie que .

Il est clair que a = 1 ne convient pas (sinon on aurait 1/b^2 + 1/c^2 qui vaut un nombre négatif).
a = 2 ne convient pas (sinon on aurait 1/b^2 + 1/c^2 = 0).

Conclusion a = 3, ce qui signifie que l'on doit résoudre 1/b^2 + 1/c^2 = 1/4 - 1/9. On peut chercher une méthode analogue. 1/b^2 + 1/c^2 = 5/36

Avec donc: 1/b^2 + 1/c^2 >= 2/b^2 alors 2/b^2 >= 5/36 donc b entre 1 et 3, rebelote...

Finalement (a ; b ; c) = (3 ; 3 ; 6)

[Lostounet]

2)Trouver le plus petit réel k > 0 tel
que pour tout triplet (a, b, c) appartenant à R^3.

On peut chercher à appliquer directement l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Prenons le vecteur u (a ; b ; c) et v(1 ; 1 ; 1).

Appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz à ces deux vecteurs: le produit scalaire de u et de v est (u ; v) et il est plus petit que le produit des normes des vecteurs u et v, ie

Or (u ; v)^2 = (a + b + c)^2
|u|^2 = a^2 + b^2 + c^2
|v|^2 = 3

Alors

Le cas d'égalité survient lorsque comme le souligne Pascal.

Par contre, une remarque: ces petits problèmes sont intéressants mais tu devrais aussi les chercher un peu car ils sont assez différents les uns des autres.

[Lostounet]

3)Résoudre l'équation:
sinx + cosx = 2sinx.cosx

Si on connait la somme S et le produit P de deux nombres, alors ces nombres sont solution de l'équation (tu es d'accord?)

Si on a une solution de cette équation, alors en élevant tout au carré
donc

. Mais sin^2 + cos^2 = 1


En posant Y = sin(x) cos(x), Y est solution de l'équation du second degré:


On trouve donc Y = 1/4 - sqrt(5)/4 (ou Y = 1/4 + sqrt(5)/4) mais je fais la suite avec juste une solution)

On trouve donc que . Cela signifie que si on note P le produit cos(x) sin(x), alors on déduit de l'équation cos(x) + sin(x) = 2cos(x)sin(x) que cos(x) + sin(x) = 1/2 - sqrt(5)/2


Or deux nombres inconnus cos(x) et sin(x) dont on connait la somme S = cos(x) + sin(x) = 1/2 - sqrt(5)/2
Et le produit P = cos(x) sin(x) = 1/4 - sqrt(5)/4 sont solution de l'équation:

X^2 - SX + P = 0 soit

Les deux nombres cos(x) et sin(x) sont donc



Donc par quotient tan(x) = sin(x)/cos(x) implique x = arctan (le gros quotient de racines)


x ~ -1.237676

(Si tu veux:

Attention: ma méthode aboutit (outre le fait d'avoir fait par implications..) à une solution (voire plusieurs) mais je n'ai pas fait assez d'efforts pour extraire toutes les solutions (on peut ajouter des multiples par 2pi etc et en trouver d'autres ! car si x est solution de l'equation, x + 2kpi aussi)

[JérémyDubois]

Merci pour vos réponses je vais essayer de voir ça.

[JérémyDubois]

Oui j'ai vu vous n'avez pas traité toutes les solutions.

[Lostounet]

Voici une méthode lycée:

4)Résoudre, dans les réels, le système d'équations:

Tout d'abord, (x;y) = (0;0) est solution à l’œil nu. Dans tout ce qui suit on peut donc supposer que ni x ni y ne sont nuls (et donc diviser librement par x et y)

Chapitre 1: Utilisation d'une forme canonique pour trouver 4 solutions en montrant que
Multiplions la (1) par x et la (2) par y.



Puis soustrayons les deux équations:

donc:
Puis par factorisation:

donc:


Cela impose x = y, x = -y ou bien x^2 + y^2+ 7xy = 0

On s'intéresse dans ce chapitre à que l'on souhaite mettre sous forme canonique.
On constate que:
(identité)
On doit donc soustraire 49y^2 /4 et ajouter y^2 afin d'obtenir l'expression que l'on souhaite. Cela revient à soustraire 45y^2/4



On a donc x^2 + y^2 + 7xy = 0 qui équivaut à , soit donc:
(J'ai pris y >=0 pour tout ce qui suit):


Puis:

On est content car on parvient enfin à extraire x en fonction de y:

ou bien

Maintenant, prenons la première possibilité, qui est . Revenons au système initial, et branchons cette valeur.


Dans:

L'équation devient en simplifiant:
On trouve donc:

(on a choppé deux solutions)

On peut brancher maintenant dans la 1ere équation:

Dans



On obtient, en simplifiant un peu:


Ce qui permet de chopper deux solutions:


Malheureusement, si on rebranche la seconde forme de y dans les 2 autres, on trouve pas de nouvelles solutions...
Pour l'instant on a pu avoir 4 solutions en plus de (0;0) donc 5 ! Place au chapitre 2:



Chapitre 2: On utilise qu'on peut avoir x =y ou bien x =-y
On a juste utilisé x^4 + y^2 + 7xy = 0. Mais on avait aussi vu qu'il est possible que x = y ou x = -y.

On peut donc brancher x = y dans:


ce qui donne: puis

Donc

On peut aussi brancher x = -y dans:


Alors



Le compte est bon !!!
On a trouvé les 9 solutions possibles

[pascal16]

ceux qui au lycée savent faire ça les doigts dans le nez n'auront pas trop de problème en prépa.

[Lostounet]

ceux qui au lycée savent faire ça les doigts dans le nez n'auront pas trop de problème en prépa.

Je voulais dire juste que les outils sont ceux du lycée (identités remarquables, substitutions et résolutions de trucs de la forme x^2 = a). Mais il faut un peu d'endurance pour les calculs un peu laborieux ...

[chan79]

salut à tous
Une variante pour la 3
Au vu de la courbe de la fonction telle que , on peut poser
On trouve l'équation:


On arrive, pour les solutions de l'équation initiale dans , à

environ 2.80847

environ -1,23767

tout ça à près

[Lostounet]

Bravo Chan

Comme toujours... simple et efficace!

[zygomatique]

salut

pour la 4.
il y a 9 réponses.

pourquoi ? comment ?

(je suis bien sur d'accord mais comment peux-tu dire cela immédiatement comme ça ?)

[Lostounet]

@Zygo

Tu as vu mon message précédent? :p Il y a 4 grands cas chacun donne lieu à 2 solutions. Puis (0;0)

Après graphiquement j'ai pu m'y attendre.. je sais pas comment on pourrait le voir a l'oeil nu.
(Sinon en multipliant les degrés? mais je pense pas..)

[zygomatique]

ha oui bien vu la multiplication par x et par y ...j'avais pas tilté au début et je me disais ""comment j'ai pu le raté ?"" en faisant évidemment la soustraction ... je comprends mieux ...

une variation sur la solution de lostounet (sans multipler par x et par y)

on suppose

par soustraction on :

par addition on a :

si alors donc :

soit
soit


si alors donc :

soit
soit


si alors :

donc par soustraction et donc (on obtient deux fois la même équation)

mais en réinjectant dans les équations initiales :


les deux solutions sont positives donc deux solutions pour x avec y = -5/x

et par permutation de x et y on retrouve bien les autre solutions ... puisque !!!

donc en tout les neuf solutions !!! qu'il faut bien vérifier qu'elles sont solutions puisqu'on a travaillé par implication à certains moment ... et c'est encore une sacrée paire de manche de vérifier ... mais un bon exercice de calcul !!!

lostounet : quand on trouve 9 solutions évidemment on peut dire qu'il y a 9 solutions ... le pb c'est comment pascal16 a pu dire ce qu'il a dit dès le début !!!

[Lostounet]

lostounet : quand on trouve 9 solutions évidemment on peut dire qu'il y a 9 solutions ... le pb c'est comment pascal16 a pu dire ce qu'il a dit dès le début !!!

Honestly, j'ai vérifié avec Wolfram si j'avais bien trouvé toutes les solutions... Après Pascal semble beaucoup aimer les coniques et peut-être qu'il y a un petit bout de théorie sur le nombre maximal de solutions de tels systèmes ? (par exemple ici le produit des degrés vaut 9...) Qu'en penses-tu: hasard ou illuminati confirmed..?

ha oui bien vu la multiplication par x et par y ...j'avais pas tilté au début et je me disais ""comment j'ai pu le raté ?"" en faisant évidemment la soustraction ... je comprends mieux ...

Revenir au collège pour apprendre ses identités remarquables.
Hahahahaha

[zygomatique]

même je ne vois pas ...

(0, 0) est solution évidente
(x, y) est solution <=> (y, x) est solution

mais ensuite ??

Revenir au collège pour apprendre ses identités remarquables.
Hahahahaha

sauf que je n'ai pas multiplié par x et par y !!! ce que je n'avais pas fait gaffe au début !!! et donc je ne comprenais pas !!! et je suis revenu au collège pour factoriser x^3 + y^3 et x^3 - y^3 ...

mais je te montre que je me passe de ce ""subterfuge"" et arrive au même résultat ... et même en plus simple :

il y a les couples (x, x), les couples (x, -x) et les couples (x, -5/x) (ou qui appartiennent au cercle C(0, r(35))... reste à trouver x... ce que je fais d'ailleurs ...

et évidemment je trouve ma méthode mieux meilleure que la tienne ...

et évidemment je comprends que tu trouves ta méthode mieux meilleure que la mienne

l'important étant qu'on soit parvenu à nos fins !!!

[Lostounet]

Ma méthode est plus jolie :p