[résolu] DM math équation différentielle du premier ordre(j'

[jedi-the-last]

C'est très long j'ai réussi presque tout sauf dans la partie B, question 1)c... je vous écris c'est en 2 parties.

Patie A :

Soir f la fonction définie sur R par f(x) = (3exp(x/4)) / (2+exp(x/4)).

1 : Démontrer que f(x) = 3 / (1+2exp(-x/4)).
2 : Etudier les limites de la fonction f en +infini et en -infini.
3 : Etudier les variations de f.


Ce que j'ai fais pour cette partie :

1 : f(x) = (3exp(x/4)) / (2+exp(x/4)) je met l'exponentielle de x/4 en facteur et je simplifie par cela. d'ou
f(x) = 3 / 1+2exp(-x/4).

2 : limf(x) = 3 car |exp(-x/4) -> 0+ donc le dénominateur tend vers 1
x->+infini | numérateur tend vers 3


lim f(x) = 0+ car |exp(-x/4) -> +infini donc le dénominateur tend vers +infini
x->-infini | numérateur tend vers 3

3 : f'(x) = [(3/2)*exp(-x/4)] / (1+2exp(x/4)²
pour tout x, le dénominateur est positif, donc le signe de f' dépend uniquement du signe du numérateur. Or la fonction exp est toujours positive et 3/2>0. Donc f'>0 pour tout x.
Donc f est strictement croissante sur R.

La je ne pense pas avoir fait de fautes

Patie B.(c'est très long, armez vous de patience) : en + il y a une sorte de mise en situation qui ne sert a rien ^^

1 : On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population au temps t est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0;+infini[ dans R. La variable réelle t désigne le temps, exrimées en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0;+infini[ de l'équation différentielle
(E1) y'=y/4.

a. Résoudre (E1).
b. Déterminer l'esxpression de g(t) lorsque a t=0, la population comprend 100 rongeurs, donc g(0) = 1.
c. Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois?

2 : En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. on note u(t) le nombre de rongeurs vivant au temps t (exprimé en années) et on admet que la fonction u ainsi définie, satisfait aux conditions :
(E2) : u'(t) = [u(t)/4] - [[u(t)]² / 12]
u(0 = 1
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.

a. On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t)>0. n considère sur l'intervalle [0;+infini[, la fonction h défnie par h=1/u. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions :
(E3) : h'(t) = -h(t)/4 + 1/12 pour tout réel t positif ou nul
h(0) = 1
ou h désigne la fonction dérivée de la fonction h.

b. Donner les solutions de l'équation différentielle y' = -y/4 + 1/12 et en déduire l'expression de la fonction h,puis celle de u.

c.Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + infini ?


Ce que j'ai fait au début de la partie B :

1 : a. (E1) y'=y/4
Les solutions sont de la forme y = K*exp(t/4).
b. A t=0, g(0) = 1.
Donc K*exp(0/4) = 1 K*exp(0)=1 or exp(0) =1
Donc K=1
D'ou g(t) = exp(t/4).
c. (ben la je bloque j'ai fais quelque chose mais je pense que ca ne marche pas...)
g(t)>3 exp(t/4)>3
exp(4/4)= exp(1) 3>exp(4/4).
Nan, c'est as possible ce que j'ai mis, c'est beaucoup trop approximatif qi je prend ce chemin la.... Merci de m'aider

Sachez aussi que pour la question suivante je bloque tout autant, pour nepas dire plus...(c'est bon j'ai réussi la fin, il ne me manque plus que la 1)c mise en rouge ^^)

[jedi-the-last]

Il n'y a vraiment personne qui peut m'aider sur cet exercice, parce que je planche dessus (toujours) et quoi que je fasse je reste bloqué...

[jedi-the-last]

Je dois rendre ce DM lundi et j'ai passé presque l'après midi dessus. HEEELLP!!

[jedi-the-last]

J'ai réussi la fin ^^ il me manque donc uniquement dans la partie B, la question 1) c allez c'est pas dur. Vous avez beaucoup a lire, mais une seule question a répondre...

[fonfon]

salut, tu trouves quoi pour g(t)?

[jedi-the-last]

L'expression de g(t) c'est :
g(t) = exp (t/4). Mais je l'ai déja marqué dans le permier message ca, donc je pense avoir mal compris ce que tu demandes...

[fonfon]

non,c'est ça que je voulais mais comme j'ai pas lu le 1er message...

je trouve pareil

c. Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois?

il suffit simplement de resoudre g(t)>3

bon je vais manger je repasse apres si tu n'arrives pas à resoudre

[jedi-the-last]

Justement c'est la que je bloque (comme dit dans mon premier message :P). Je n'ai pas vu les logarithmes en mathématiques mais en physique, donc je pense ne pas avoir le droit de les utiliser... Mais si je ne les utilise pas, je ne trouve pas de solutions... (Me conseillerez vous de les utiliser quand même?)

[fonfon]

je sais pas ecris les 2 façons la solution utilisant les logarithmes et sinon tu fais des essais t=1, t=2, t=3... jusq'a ce que tu trouves mais si tu connais les log tu vas pas chercher longtemps

[jedi-the-last]

Ok, bon et bien merci beaucoup, je vais mettre les deux méthodes ^^. Merci beaucoup (bien qu j'avais les 2 réponses :ptdr: )