Equation différentielle du second ordre.

[vzebulon]

Bonsoir à tous,
J'ai un DM mais je ne sais abslument pas comment résourdre l'exercice qui suit :

appartient à lR et y'' est la dérivée seconde de y.

1) déterminer f', la dérivée de f et f'', la dérivée de f' pour la fonction :
f:lR --> lR
f(t) = A cos ()

En déduire que cette fonction f est la solution de l'équation différentielle y'' = -² y.
f est-elle périodique ? Dans l'affirmative, donner sa période (en fonction de )

[COLOR="Blue"]Ici je ne sais pas comment faire la dérivée; (u°v) ou la dérivée de deux fonctions multipliées.[/COLOR]

2) Rappeler la formule vue et démontrée en 1ere, qui donne cos(x+y) en fonction des cosinus et des sinus de x et de y.
[COLOR="blue"]cos(x+y) = cosx cosy + sinx sinb ???[/COLOR]
En déduire que f(t) peut s'écrire sous la forme acos(t) + bsin(t) où a et b appartiennent à lR. On exprimera a et b en fonction de A et .

:mad2: :sos:

3) Déterminer A et , que l'on choisira dans [0;pi] pour la fonction f du 1) soit solution de l'équation différentielle y'' = -4y et vérifie les conditions (dites initiales): f(0) =
Dans ce cas étudier COMPLETEMENT la fonction.

Merci infiniment pour votre aide. Je ne demande pas qu'on me fasse le DM, je veux seulement avoir qulqu'un pour me guider et que je puisse COMPRENDRE ! Merci :fs:

[Sylviel]

Pour calculer la dérivée seconde tu dérives une première fois, puis tu redérives la fonction obtenue. En applicant les règles de dérivation classique...

Par contre il serait bon d'apprendre tes formules de trigo ! Moyen mnémotechnique : le cosinus est égoïste et menteur :
cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b (égoïste car les 2 cos en premier, menteur car le + devient -)
alors que
sin(a+b)=sin a cos b + sin b cos a

[vzebulon]

Merci beaucoup,
Je trouve donc


Par contre pour en déduire que f est solution de l'équation différentielle, je ne sais pas comment faire.

[Ericovitchi]

tu as donc bien trouvé que f''= - f donc f est bien solution de