Pour une table de 30cm x 30 cm, si on note
les proba que le robot soit sur une case rouge, bleue, verte après
secondes et
alors
et
avec
.
Donc
et la proba qu'il soit encore sur la table après
secondes est
avec
et arrivé à ce point là, tout est dit, le reste n'est "plus que" de l'algèbre linéaire.
Par exemple, l’espérance du temps qu'il va mettre à tomber, c'est la somme des
où
c'est la proba qu'il tombe à la
-ième seconde, c'est à dire
:
C'est à dire
qu'on peut trouver en résolvant le système linéaire
qui correspond au système dont j'avais parlé dans le post du 27 Déc 2018 14:14 et qui peut bien sûr s'interpréter en terme probabiliste sur les temps moyen qu'il faut pour sortir de la table partant d'une case donnée. Sauf qu'on peut aussi ne rien interpréter du tout et faire comme je l'ai fait ici uniquement en terme d'algèbre linéaire.
Et si tu veut calculer
en fonction de
ben c'est de nouveau un problème plus que classique d'algèbre linéaire vu que ça correspond peu ou prou à calculer
.
P.S. Et là où on voit que la théorie n'est pas forcément utile, voire même plutôt chiante dans un cas pareil, c'est que le truc décrit ci dessus
ce n'est pas un processus stochastique stricto sensu vu que
n'est pas une matrice stochastique (la somme des coeff. de chaque colonne n'est pas 1). Pour que ça rentre dans le cadre "standard" des processus stochastiques, il faut rajouter un quatrième "état possible"
correspondant à la proba. que le robot soit déjà tombé à l'issue de la
-ième seconde ce qui donnerais comme matrice de transition
qui cette fois est bien une vraie matrice stochastique.
Sauf que ça simplifie absolument pas les calculs, bien au contraire et comme ici, on a pas grand chose à f... des résultat théorique concernant les matrices stochastiques vu que tout se fait facilement "à la main", je vois pas l'intérêt d'introduire
plutôt que
.