Marche aléatoire sur un carré

[Lilly45]

Bonsoir à tous, j'ai un petit problème. Je vous explique, voilà l'énoncé du problème. J'ai réussi les trois quart de l'exercice, enfin tout, sauf deux petites questions.
Une fourmi parcourt les côtés d'un carré en partant du sommet A, et met une minute pour parcourir un côté. Arrivée à un sommet, elle choisit au hasard l'un ou l'autre des deux côtés issus de ce sommet pour poursuivre sa marche. On cherche à savoir où se trouve la fourmi au bout de quatre minutes.
(la fourmi se déplace sur un carré ABCD)

Simulation avec un tableur.
Pour simuler cette expérience, Chantal a nommé le point A (resp. B, C et D) à l'aide du chiffre 0 (resp. 1, 2, 3)

a) Expliquer pourquoi l'instruction = 2* ALEA.ENTRE.BORNES(0;1)-1 renvoie l'un des nombres 1 ou -1
b) Chantal a réalisé la feuille de calcul ci-dessous en tapant dans la cellule B2 la formule :
=MOD(A2+2*ALEA.ENTRE.BORNES(0;1)-1;4)
Expliquer cette façon de procéder.

Pour la question a) voilà ce que j'ai noté pour y répondre :
Les bornes 0 et 1 renvoient respectivement aux sommets A et B. Soit la souris est sur le sommet A et donc 2*0-1 ce qui nous renvoie à -1, ou alors elle est sur le sommet B et donc 2*1-1 ce qui nous renvoie à 1.

Pour la question b), je suis complètement bloquée, je sais pas quoi faire. Et d'ailleurs je comprends pas pourquoi on divise par 4, pourquoi il y a un facteur 2, pourquoi on soustrait 1...
Quelqu'un peut m'aider ? :mur:
Merci d'avance !

[Thomas Joseph]

Pour la question a), ne parle pas de la fourmi (au fait ... ce n'est plus une souris:)), la formule proposée est indépendante de l'histoire de la fourmi.

Pour la question b) : le facteur 2, c'est le même que tu celui de la question a).
Tu as vu que la formule de la question a) renvoyait 1 ou -1.

Explication de la formule en B2 :
Si A2 = 0 (fourmi en A) en ajoutant 2*ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) tu pourras obtenir 1 (point B) ou -1 qui ne correspond à rien. C'est pour cette raison que l'on calcule la congruence modulo 4 du résultat. Dans le cas de -1 cela te retourne 3 (donc le point D)

[Lilly45]

Pour la question a), ne parle pas de la fourmi (au fait ... ce n'est plus une souris:)), la formule proposée est indépendante de l'histoire de la fourmi.

Pour la question b) : le facteur 2, c'est le même que tu celui de la question a).
Tu as vu que la formule de la question a) renvoyait 1 ou -1.

Explication de la formule en B2 :
Si A2 = 0 (fourmi en A) en ajoutant 2*ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) tu pourras obtenir 1 (point B) ou -1 qui ne correspond à rien. C'est pour cette raison que l'on calcule la congruence modulo 4 du résultat. Dans le cas de -1 cela te retourne 3 (donc le point D)

J'ai compris, merci
Elle a fait en sorte d'avoir un résultat impossible, pour utiliser la bonne congruence pour tomber sur la bonne variable aléatoire relativement à son carré. Mais elle calcule quoi ?

[Thomas Joseph]

Ok ! Oui la fourmi pardon ^^
Mais j'ai l'impression de comprendre que la surface des choses.
Même pour la question a), je ne comprends pas vraiment le facteur 2. Et puis pourquoi a-t-elle choisi ces deux bornes, 0 et 1, ça aurait pu être 0 et 3 ? et pourquoi juste deux bornes ? Pourquoi pas plus ? Et pourquoi soustraire 1 ?
Elle calcule quoi en inscrivant cela dans sa feuille de calcul ?

Je suppose que le quadrilatère se nomme ABCD, dans le sens des aiguilles d'une montre

a) 2*ALEA.ENTRE.BORNES(0;1)-1
te retourne 2*0-1 ou 2*1-1, tu obtiens donc soit -1 soit 1
Cela suffit pour ta question a)

Maintenant l'explication :
Si tu obtiens 1 la fourmi avance de 1 dans le sens des aiguilles d'une montre
Si tu obtiens -1 la fourmi avance de 1 dans le sens inverse

Pendant que tu lis j'écris l'explication pour la question b)

[Lilly45]

Je suppose que le quadrilatère se nomme ABCD, dans le sens des aiguilles d'une montre

a) 2*ALEA.ENTRE.BORNES(0;1)-1
te retourne 2*0-1 ou 2*1-1, tu obtiens donc soit -1 soit 1
Cela suffit pour ta question a)

Maintenant l'explication :
Si tu obtiens 1 la fourmi avance de 1 dans le sens des aiguilles d'une montre
Si tu obtiens -1 la fourmi avance de 1 dans le sens inverse

Pendant que tu lis j'écris l'explication pour la question b)

le quadrilatère ABCD est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et le A est sur le sommet "en bas à gauche". Peu importe, c'est très clair, merci..

[Thomas Joseph]

Pour b)
- avec l'explication ci-dessus, si la fourmi est en B ou en C pas de problème,
cela revient à dire qu'elle est en 1 ou en 2. Si tu fais +1 elle arrive en 2 ou en 3, si tu fais -1 elle arrive en 0 ou 2.
- par contre on a un problème en A et en D
si elle est en A soit en 0 et que tu fais -1, tu arrives sur -1 qui ne correspond à aucun point
si elle est en D soit en 3 et que tu fais +1, tu arrives en 4 qui ne correspond à aucun point.
C'est là qu'intervient MOD(...,4), cela te renvoit le reste modulo 4 :
pour -1 cela retourne 3 (on arrive bien en D)
pour 4 cela te retourne 0 (on arrive bien en A)

[Lilly45]

Pour b)
- avec l'explication ci-dessus, si la fourmi est en B ou en C pas de problème,
cela revient à dire qu'elle est en 1 ou en 2. Si tu fais +1 elle arrive en 2 ou en 3, si tu fais -1 elle arrive en 0 ou 2.
- par contre on a un problème en A et en D
si elle est en A soit en 0 et que tu fais -1, tu arrives sur -1 qui ne correspond à aucun point
si elle est en D soit en 3 et que tu fais +1, tu arrives en 4 qui ne correspond à aucun point.
C'est là qu'intervient MOD(...,4), cela te renvoit le reste modulo 4 :
pour -1 cela retourne 3 (on arrive bien en D)
pour 4 cela te retourne 0 (on arrive bien en A)

Super ^^ encore merci, je vais rédiger ma réponse maintenant.