Logarithmes

[Dacu]

Bonjour à tous,

Soit , , et .Montrer que .

Cordialement,

Dacu

[aviateur]

Bonjour
Je ne donne pas la solution en détail et de plus elle n'est pas de niveau lycée.
On pose A=Ln(a), .... Ce qui donne \sqrt{A/B+3}+....=6, avec A,B,C>0.
On pose encore X=A/B, Y=B/C et donc C/A=1/(XY).
On a donc une expression de la forme f(X,Y)=6. On finit en cherchant les extremums sur (R*+)^2, les calculs sont assez simples.

Maintenant vu que c'est posé au niveau lycée, un élève de lycée peut réfléchir comme cela:
Soit Y>0 fixé. Alors la fonction X--->f(X,Y) définit sur fonction sur R^*+ noté f_Y. Il lui reste à étudier les variations de f_Y, les calculs étant (relativement) simples....

[Dacu]

Bonjour,

Bonjour
Je ne donne pas la solution en détail et de plus elle n'est pas de niveau lycée.
On pose A=Ln(a), .... Ce qui donne \sqrt{A/B+3}+....=6, avec A,B,C>0.
On pose encore X=A/B, Y=B/C et donc C/A=1/(XY).
On a donc une expression de la forme f(X,Y)=6. On finit en cherchant les extremums sur (R*+)^2, les calculs sont assez simples.

Et j'ai transformé ces logarithmes en logarithmes naturels....
Je ne comprends pas!Pourquoi les extrêmes devraient-ils être recherchés et comment résulterait de cette condition que ?

Maintenant vu que c'est posé au niveau lycée, un élève de lycée peut réfléchir comme cela:
Soit Y>0 fixé. Alors la fonction X--->f(X,Y) définit sur fonction sur R^*+ noté f_Y. Il lui reste à étudier les variations de f_Y, les calculs étant (relativement) simples....

Je ne comprends pas!S'il vous plaît donner des détails!
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Le problème est donné 10e année dans un lycée en Roumanie...
Un professeur a résolu le problème en utilisant les inégalités des médias....une méthode que je ne comprenais pas dans ce cas...
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Il est évident que la solution triviale est , mais comment montrons-nous que cette solution est unique?
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Un problèmes similaire:
Soit , , et .Montrer que .

Cordialement,

Dacu

[aviateur]

Bonjour
log_a( b)=ln(b)/ln(a) les conditions a,b,c>1 sont équivalentes à A=ln(A),....>0.
Donc le problème est équivalent à: est équivalent à A=B=C
On pose X=A/B , Y=B/C et Z=C/A=1/(XY)
Le problème est encore équivalent à montrer que: X>0,Y>0 et implique X=Y=1

Fixe Y>0 et posons pour X>0
Cherchons les extremums de f:
On cherche les valeurs pour lesquelles le numérateurs s'annulent et en multipliant par son expression conjugué
cela donne -3-x+x^3 y+3 x^4 y^2=0 qui est nul pour .
Une petite étude de signe montre qu'en fait et un minimum (absolu)
d'où avec égalité quand

Maintenant est une fonction facile à étudier et on verra que avec égalité quand y=1. La fin devient évidente.

Maintenant je suis assez convaincu que l'on peut montrer l'inégalité "à la main"
comme par exemple, utiliser que la moyenne arithmétique est supérieure à la moyenne géométrique.
On se trouve avec une nouvelle égalité à démontrer que l'on peut élever à la puissance 6 pour tuer les racines. cela donne (3+x)(3+y)(3+1/(xy))\geq 64 avec égalité quand x=y=1.
Là encore transformer l'inégalité précédente en une égalité de la forme Q_1(x_1,y-1)+Q_2(x_1,y-1)\geq 0
où Q_1 et Q_2 sont de formes quadratiques manifestement définies positives.
A moins de faire mieux, du point de vue calculatoire, le plus simple est de minimiser (3+x)(3+y)(3+1/(xy)).

[aviateur]

Pour ton deuxième problème il n'est pas similaire. Je suppose qu'il manque =6.
En effet ici 6 n'est pas un extremum. Et de plus je pense que c'est faux.
En effet
je prend x= 4, y=4+e_ 1 z=4-e_2.
Si je prend e_1>0 et assez petit il y a une solution e_2 >0 à l'équation "somme des racines=6"

[chan79]

Pour ton deuxième problème il n'est pas similaire. Je suppose qu'il manque =6.
En effet ici 6 n'est pas un extremum. Et de plus je pense que c'est faux.
En effet
je prend x= 4, y=4+e_ 1 z=4-e_2.
Si je prend e_1>0 et assez petit il y a une solution e_2 >0 à l'équation "somme des racines=6"

salut
oui, on a un contre-exemple avec:
x=3.24
y=4.84
z=4

[aviateur]

Rebonjour, pour celui qui ne veut pas étudier les variations d'une fonction (par exemple pour rester au niveau collège, début lycée), on peut effectivement montrer à la main que
l'égalité (3+x)(3+y)(3+1/(xy))=64 avec x,y>0 implique x=y=1
qui je le rappelle est équivalent au problème initial
Pour cela on pose s=x+y et p=xy et il est facile de voir que inégalité que l'on va utiliser:
On va montrer que (3+x)(3+y)(3+1/(xy))-64\geq 0 et chercher les cas d'égalité.
On a (3+x)(3+y)(3+1/(xy))-64=(9+3s+p)(3+1/p)-64 on multiplie le tout par p/3 pour obtenir une inégalité équivalente:
3-12 p+p^2+s+3 p s\geq 0
hors 3-12 p+p^2+s+3 p s\geq 3 + 2 \sqrt{p} - 12 p + 6 p^(3/2) + p^2 =h(p) (d'après l'inégalité )

Posons et
Ce qui démontre l'inégalité. L'égalité a lieu ssi u=1, i.e p=1. Donc s\geq 2.
Mais dans ce cas on a aussi (9+3s+p)(3+1/p)-64=12(s-2) et cela vaut 0 ssi s=2.
pour finir l'égalité a lieu ssi s=2, p=1 donc ssi=x=y=1 .

[Dacu]

Rebonjour, pour celui qui ne veut pas étudier les variations d'une fonction (par exemple pour rester au niveau collège, début lycée), on peut effectivement montrer à la main que
l'égalité (3+x)(3+y)(3+1/(xy))=64 avec x,y>0 implique x=y=1
qui je le rappelle est équivalent au problème initial
Pour cela on pose s=x+y et p=xy et il est facile de voir que inégalité que l'on va utiliser:
On va montrer que (3+x)(3+y)(3+1/(xy))-64\geq 0 et chercher les cas d'égalité.
On a (3+x)(3+y)(3+1/(xy))-64=(9+3s+p)(3+1/p)-64 on multiplie le tout par p/3 pour obtenir une inégalité équivalente:
3-12 p+p^2+s+3 p s\geq 0
hors 3-12 p+p^2+s+3 p s\geq 3 + 2 \sqrt{p} - 12 p + 6 p^(3/2) + p^2 =h(p) (d'après l'inégalité )

Posons et
Ce qui démontre l'inégalité. L'égalité a lieu ssi u=1, i.e p=1. Donc s\geq 2.
Mais dans ce cas on a aussi (9+3s+p)(3+1/p)-64=12(s-2) et cela vaut 0 ssi s=2.
pour finir l'égalité a lieu ssi s=2, p=1 donc ssi=x=y=1 .

Bonjour,

Je ne comprends pas votre raisonnement!
De l'égalité il en résulte que et non .S'il vous plaît expliquer pourquoi ? Merci très beaucoup!

Cordialement,

Dacu

[aviateur]

Bonjour, ce n'est pas mon raisonnement. Mon raisonnement est le suivant
Je veux montrer que \sqrt{3+x}+....\geq 6 avec égalité ssi x=y=1. ou encore 1/3(\sqrt{3+x}+....)\geq 2
Maintenant j'utilise le fait que la moyenne arithmétique est supérieure à la moyenne géométrique et j'élève à la puissance 6 pour tuer les puissances fractionnaire si bien que si je montre que (3+x)(3+y)+(3+1/(xy))\geq 64
alors j'ai l'inégalité 1/3(\sqrt{3+x}+....)\geq 2 que je souhaite démontré. Le cas de l'égalité ne posant pas de pb

[Ben314]

Salut,
J'ai un peu l'impression que vous vous embêtez bien beaucoup pour pas grand chose :
En utilisant la convexité (ou une simple étude de fonction si on veut rester niveau Lycée), on vérifie que pour tout réel c'est à dire que pour tout .
Donc pour tout et, en particulier, si .

[aviateur]

Bonjour

J'ai un peu l'impression que vous vous embêtez bien beaucoup pour pas grand chose :

@ben314, et bien non.
Certes ce que tu proposes est assez direct mais à peine plus que que le fait d'utiliser la minoration par la moyenne géométrique, encore que tes inégalités demande à faire une étude de fonction pour un lycéen.
Je suis parti de ce qui m'est venu à l'esprit en premier et que je continue jusqu'au bout. Le but du jeu c'est d'avoir une solution et non pas de s'amuser à voir si il y en une autre un chouïa plus court.
Si je passe un peu de temps c'est parce que Dacu n'a pas tout à fait compris mais la solution que je propose ne pose aucun problème mathématique. Il ne faut faire croire à @Dacu et le décourager à comprendre cette seconde solution (il en 2 !) par ta remarque. Même si bien sûr il peut regarde la tienne.

[Dacu]

Salut,
J'ai un peu l'impression que vous vous embêtez bien beaucoup pour pas grand chose :
En utilisant la convexité (ou une simple étude de fonction si on veut rester niveau Lycée), on vérifie que pour tout réel c'est à dire que pour tout .
Donc pour tout et, en particulier, si .

Bonjour,

Très clair et élégant!Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu

[chan79]

Salut,
J'ai un peu l'impression que vous vous embêtez bien beaucoup pour pas grand chose :
En utilisant la convexité (ou une simple étude de fonction si on veut rester niveau Lycée), on vérifie que pour tout réel c'est à dire que pour tout .
Donc pour tout et, en particulier, si .

salut
J'ai l'impresseion que ce qui est montré là, c'est que pour tout ,

Il faut montrer que si alors
(dans l'autre sens, c'est évident)

[Ben314]

Salut,
J'ai un peu l'impression que vous vous embêtez bien beaucoup pour pas grand chose :
En utilisant la convexité (ou une simple étude de fonction si on veut rester niveau Lycée), on vérifie que pour tout réel c'est à dire que pour tout .
Donc pour tout et, en particulier, si .

salut
J'ai l'impresseion que ce qui est montré là, c'est que pour tout ,

Il faut montrer que si alors
(dans l'autre sens, c'est évident)

En fait, ça montre bien l'équivalence (mais effectivement, je l'ai pas écrit) vu que la convexité (ou l'étude de fonction) montre non seulement que mais aussi qu'il y a égalité ssi t=0.
Et il en découle que pour tout , avec égalité ssi T=1 puis que avec égalité ssi X=Y=Z=1.

[chan79]

OK merci