Logarithme

[beck23]

bonjour!!

j'ai besoin d'aide pour un exercice s'il vous plait je n'y arrive pas du tout c'est pour vendredi s'il vous plait aidez moi!!!


Voici l'énoncé :
Un exemple d'utilisation de la fonction logarithme décimal notée log et définie sur l'intervalle ]0;+ infini [ par log= ln/ln10

1) n et x sont deux naturels supérieurs ou égaux à 1

a) Prouver que x a exactement n chiffres si et seulement si 10^n-1
b)En déduire que , pour tout naturel x non nul, le nombre n de ses chiffres est égal à la partie entière de log(x)+1

2)a) Déterminer le nombre des chiffes de 2^2007

b) Le plus grand naturel premier connu à la date de ce jour, l'est depuis septembre 2006. Il est égal à 2^32582657-1. Quel est le nombre de chiffres de ce naturel?

merci en tout cas si vous m'aidez

[hellow3]

Salut.

1.
a.
10^(n-1) a combien de chiffres? et (10^(n-1)) -1?
10^n a combien de chiffres? et (10^n) -1?
Par rapport aux nombres de chiffres, que représentent 10^(n-1) et 10^n?

P.S. A mon avis, c'est plutôt: 10^n-1
b.
la fonction ln est croissante, donc pour tout a,b strictement positif tel que aLa fonction log est égale à la fonction ln multiplié par un réel positif. Elle est donc aussi croissante, et:
pour tout a,b réels strictement positif tel que a
Tu as une inégalité et une fonction log dont on te donnes la définition, combines les deux.

[beck23]

oui désolé je me suis treompé pour le 1 a

mais je ne comprends pas du tout comment faire même comme vous me l'expliquer ?
s'il vous plait un peu d'aide

[hellow3]

Salut.

1.
a.
10^(n-1) a combien de chiffres? n chiffres et (10^(n-1)) -1? 9 chiffres
10^n a combien de chiffres? n+1 chiffres et (10^n) -1? n chiffres
Par rapport aux nombres de chiffres, que représentent 10^(n-1) et 10^n?
10^(n-1) est donc le plus petit nombre à 10 chiffres et 10^n le plus petit nombre à n+1 chiffres

P.S. A mon avis, c'est plutôt: 10^n-1 <ou= x < 10^n Non?
x est donc superieur ou egal au plus petit nombre à n chiffres et strictement plus petit que le plus petit nombre à n+1 chiffres. Il a donc obligatoirement n chiffres
b.
la fonction ln est croissante, donc pour tout a,b strictement positif tel que a<b, ln a < ln b.
La fonction log est égale à la fonction ln multiplié par un réel positif. Elle est donc aussi croissante, et:
pour tout a,b réels strictement positif tel que a<b, tu as log(a)<log(b).

Tu as une inégalité et une fonction log dont on te donnes la définition, combines les deux.

Ca va? tu suis?

[beck23]

oui je suis

par contre je ne sais pas comment faire pour le 2 a et b! je ne trouve pas

[hellow3]

1.b. En déduire que , pour tout naturel x non nul, le nombre n de ses chiffres est égal à la partie entière de log(x)+1

donc le nombre de chiffres de 2^2007 est:
partie entiere(log(2^2007))+1
* tu sais que log(2^2007)=2007*log2=604,...
* partie entiere=604
* nombre de chiffres= 604+1=605

[laeti6423]

ah merci et pour la 2) b je fais pareil???

[beck23]

ah d'accord merci beacoup
et pour la 2) b je fais pareil ???

merci encore

[hellow3]

Oui.


(2^32582657)-1
Le -1 est embêtant. Il faudrait voir si (2^32582657) a autant de chiffres que (2^32582657)-1.
Le seul cas ou ce ne serait pas le cas, serait si (2^32582657) est un nombre qui commence par un 1 et finit par 0.
A mon avis, une puissance de 2 ne peut jamais finir par un zéro.
Parce que sinon, la puissance inférieure finirait par un 0 si le chiffre des dizaines est paire, et par cinq sinon.
Si le chiffre des dizaines est paire, on recommence le raisonnement précédent.
A la fin, on a le dernier chiffre egal à 5.
Ce serait donc un nombre impair, alors que les puissances de 2 sont des nombres pairs.

Donc (2^32582657)-1 a autant de chiffres que (2^32582657)