Logarithme

[razel]

Bonsoir à tous,
J'ai besoin d'aide pour montrer que la droite d'équation y = x - 1/2 est asymptote oblique à Cf au voisinage de + l'infini

avec f(x) = x^2 ln(1 + 1/x)

Merci d'avance

[mathelot]

développe



puis intégre pour développer
ln(1+h).



Développe ln(1+1/x) à l'ordre 3 pour obtenir une expression affine

[Black Jack]

Une manière parmi d'autres :

a = lim(x--> +oo) f(x)/x = lim(x--> +oo) x.ln(1 + 1/x) = [lim(x--> +oo) ln(1 + 1/x) / (1/x)] = [lim(t--> 0+) [ln(1 + t) / t] = 1

b = lim(x--> +oo) (f(x) - a.x) = lim(x--> +oo) [x².ln(1 + 1/x) - x] = lim(x--> +oo) [x.(x.ln(1 + 1/x) - 1)] = lim(x--> +oo) [(x.ln(1 + 1/x) - 1)/(1/x)]
= lim(+--> 0+) [(ln(1 + t)/t - 1)/t] = lim(t--> 0+) [(ln(1 + t) - t)/t²] est de la forme indéterminée 0/0 --> règle de Lhospital (si vue au cours)
b = lim(t --> 0+) [(1/(1+t) - 1)/(2t)] = lim(t --> 0+) [-t/(2t(1+t))] = lim(t --> 0+) [-1/(2(1+t))] = -1/2

Et donc la droite d'équation y = ax+b (soit y = x - 1/2) est asymptote oblique à Cf au voisinage de + l'infini

:zen:

[razel]

Désolé mais je ne sais ni intégrer ni utiliser la règle de lhospital, on a pas encore abordé cela en cours.
Merci de votre aide :)

[mathelot]

comment avez vous défini le logarithme ? comme fonction réciproque de l'exponentielle ?

[Ben314]

Salut,
Si on veut rester dans du "élémentaire", je voit que l'étude de fonctions "annexes" pour conclure :

1) Etudie la fonction sur [0,+oo[ (dérivée puis tableau de variation) et déduit en que pour tout t positif.

2) Etudie la fonction sur [0,+oo[ (dérivée puis tableau de variation) et déduit en que pour tout t positif.

Avec ces deux inégalités, tu peut conclure en ce qui concerne les limites demandées.

[razel]

Merci beaucoup

[mathelot]

comment avez vous défini le logarithme ? comme une fonction spéciale ? je suis curieux de savoir comment c'est défini sans calcul intégral ni primitive.

[Ben314]

B.O. spécial N°8 du 13 octobre 2011 Page 7/18 :
On peut introduire la fonction logarithme népérien grâce aux propriétés de la fonction exponentielle ou à partir de l’équation fonctionnelle.
On souligne dans les cadres algébrique et graphique que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l’une de l’autre.
Tout développement théorique sur les fonctions réciproques est exclu.

Page 6/18 :
La fonction exponentielle est présentée comme l’unique fonction f dérivable sur R telle que : f'=f et f(0)=1. L’existence est admise.

Donc pas d'intégrales, (qui d'ailleurs dans le B.O. sont situées après les fonctions exponentielle et logarithme népérien)