Logarithme Népérien, fonction

[doriancopter]

Bonjour à tous et à toutes,
je te tiens d'abord à dire que ce forum est vraiment bien pour les élèves en difficultés et qui m'a déjà servi auparavant donc je reviens vous voir aujourd'hui :we: Merci !

Voilà mon exercice,

Le but de l'exercice est de montrer que n^(n+1)>(n+1)^n pour tout entier n>3 (ou égal).

1) Montrer que l'inégalité équiaut à l'inégalité (ln(n))/n>(ln(n+1))/n+1.

2) Etudier le sens de variation de la fonction f définie par f(x)=(ln(x))/x sur ]0;+inf[.

3) Conclure !


Donc je suis bloqué à toutes les question je n'arrive même pas à faire la 2)
Merci de votre aide

[Black Jack]

1)
g(x) = ln(x) sur ]0 ; +oo[
g(x) est continue et strictement croissante.
et donc si 0 < a < b, on a ln(a) < ln(b)

n^(n+1) > (n+1)^n
On prend le ln des 2 membres ...


2)

f '(x) = (1 - ln(x))/x²

Etude du signe de f '(x) sur ]0 ; +oo[
...

:zen:

[Mortelune]

Bonjour.

Pour montrer l'équivalence entre les 2 inégalités (première question) il serait sans doute intéressant de composer par ln de chaque côté.
Pour la seconde question dériver la fonction sera sans doute un plus :lol3:

[doriancopter]

Merci de ta réponse,

mais qu'entends tu par "on prend le ln des deux membres" ?
Je n'ai pas trop compris

Merci