Limites & asypmtotes

[Anonyme]

bonjour, j'ai terminé mon exercice mais je ne suis pas sûr des réponses... Je me suis aidé de mon cours ainsi que des exercices fait en cours mais ce n'est pas les mm fonctions, donc il y a toujours un doute...

Alors :

Soit f la fonction définie sur R\{2} par f(x)= -x²+3x / x-2

1) Déterminer les limites de f en -;) et +;)

lim f(x) = FI, mais je ne sais pas comment développer, est-ce que je dois chercher le discriminant etc..., étudier les signes ???

2)a) Déterminer les réels a, b et c tels que, sur R\{2}, f(x) = ax+b+(c/x-2)

On a ax+b+(c/x-2)= (ax+b)(x-2)+c / x-2
= ax²-2ax+bx-2b+c / x-2
= ax²-x(2a+b)-2b+c / x-2

Par identification avec f(x), on obtient :
a=-1 a=-1
2a+b=3 b=3-2=1
-2b+c=0 c=0+2=2

On en déduit que f(x)=-x+1+2 / x-2

2)b) En déduire que la courbe Cf, représentant la fonction f, admet la droite D d'équation y=-x+1 comme asymptote en -;) et +;).

On a alors f(x)+(-x+1) = 2/x-2

Or en +;) :
lim 2=2 \ par quotient, lim 2/x-2=0
lim x-2=+;) /

donc lim [f(x)+(-x+1)] = 0

idem en -;)

Donc, la droite d'équation y=-x+1 est asymptote oblique à Cf en +;) et -;).

3) Déterminer la limite de f en 2. En donner une interprétation graphique.

lim -x²+3x / x-2 = FI

Donc j'étudie le discriminant (=9), puis les 2 solutions (x1 = 0 & x2 = 3)
puis j'effectue a(x-x1)(x-x2)
d'où f(x) = -1(x-0)(x+3) / x-2
Or je ne trouve pas de simplification à faire, donc pas réussi à faire la limite en 2...

4) Etudier la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite D.

Signes de f(x)+(-x+1)?
On a : f(x)+(-x+1) = -x²+3x / x-2 + (-x+1)
= -2x²+6x-2 / x-2
= x(-2x+6)-2 / x-2
= -2x+6

x | -;) 2 +;)
6 | + | +
-2x | + 0 -
f(x)+(-x+1) | + || -

Ainsi, f(x)+(-x+1) > 0 sur ]-;);2[ et la courbe Cf est au dessus de la droite D ; et f(x)+(-x+1) < 0 sur ]2;+;)[ et Cf est en dessous de D.

Autre petit question : pour trouver l'ensemble de définition d'une courbe, on regarde à quels endroits elle coupe l'axe des x ?! Je pense que c'est ça mais j'ai un doute à cause d'un exercice de mon livre... Exemple : ensemble de f : R\{0;8} ?!

merci

[Quidam]

f(x)= -x²+3x / x-2

Par pitié, mets des parenthèses là où c'est nécessaire !

J'ai bien compris que tu voulais parler de , mais dans ce cas, il fallait écrire :
f(x)=(-x²+3x)/(x-2).
Au contraire, tu as écrit : f(x)= -x²+3x / x-2, ce qui veut dire strictement :

Je vois bien que la formule en question n'a pas d'intérêt et ne correspond pas à la suite du texte, mais, dès lors que tu ne respectes pas les règles, on pouvait penser à plusieurs interprétations possibles !
Par exemple :

ou


Ta calculatrice pense comme moi !

Si tu tapes -3²+3*3/3-2 elle va te donner comme résultat :
, soit -8
alors que si tu tapes (-3²+3*3)/(3-2) elle va te donner comme résultat :
, soit 0

lim f(x) = FI, mais je ne sais pas comment développer, est-ce que je dois chercher le discriminant etc..., étudier les signes ???

Le discriminant ? Qu'est-ce que tu comptes en faire du discriminant ??????
La réponse à ton problème est dans ton cours ; cela n'a rien à voir avec le discriminant ! Et le professeur te pose ce problème pour vérifier que tu as assimilé ton cours !

Mets en facteur les termes de degrés les plus élevés dans le numérateur et dans le dénominateur !

3) Déterminer la limite de f en 2. En donner une interprétation graphique.

lim -x²+3x / x-2 = FI

Donc j'étudie le discriminant (=9), puis les 2 solutions (x1 = 0 & x2 = 3)

Encore le discriminant ? Si tu as trouvé une forme indéterminée 0/0 c'est que 2 est racine de ce trinôme. Alors tu peux factoriser le numérateur instantanément dès lors que tu connais une des deux racines. Donc pas besoin du discriminant.
Le fait que tu as trouvé 0 pour la limite du numérateur quand x tend vers 2 prouve que 2 est racine du numérateur ! Tu aurais dû t'apercevoir que le fait de trouver 0 pour x=2 est incompatible avec le fait de trouver les deux racines 0 et 3 ! Donc dès l'instant où tu trouves les deux racines 0 et 3, tu sais que le numérateur ne s'annulle que pour x=0 et pour x=3 et ne s'annulle donc pas pour x=2. Tu n'es donc pas en présence d'une FI du type 0/0 ! Donc, tu t'es trompé ! Ya qqchose qui cloche ! Dans ce cas, recommence, tout simplement, il y a forcément une erreur de calcul quelque part !
De plus, je trouve déplorable cette habitude des premières (c'est pire s'ils continuent en terminale !) de se précititer sur un discriminant dès qu'il voient un x² ! Je te rappelle que le discriminant sert à trouver les racines d'un trinôme ax²+bx+c lorsque ni a ni b ni c ne sont nuls !
Depuis la troisième tu sais résoudre :
ax²+bx=0...en factorisant : x*(ax+b) d'où les racines 0 et -b/a
exemple : -x²+3x (ton numérateur !) : -x²+3x=x*(-x+3) ce qui donne immédiatement x=0 et x=3 comme racines ! Tu as vraiment besoin du discriminant ?
Depuis la troisième tu sais résoudre :
ax²+c=0...Tu transformes en x²=-c/a et si -c/a est positif ou nul tu as les deux racines et
Exemple : x²-4=0 : x²=4 soit x=2 ou x = -2
Si -c/a est négatif, il n'y a pas de solution car aucun carré n'est strictement négatif !
Exemple : x²+4=0 ; x²=-4 : pas de solution ! Tu as vraiment besoin du discriminant ?

Alors, de grâce, ne sors pas ton discriminant à tout bout de champ. Les racines 0 et 3 sont évidentes sans avoir recours au discriminant !

Le problème ici, c'est que ce n'est pas une FI ! Le numérateur ne s'annulle pas pour x=2 ! Donc 2 n'est pas racine ! La preuve, ton effort inutile pour calculer le discriminant t'a permis de déterminer les racines 0 et 3, et bien sûr, tu ne peux pas simplifier !
Donc recommence : quelle est la limite de (-x²+3x) quand x tend vers 2 ?