Limite d'une fonction

[MacErmite]

bonjour,

je croyais être capable d'étudier la limite d'une fonction ... he bien c'est pas ça et j'en suis loin ...

Par exemple limite de cette bête quand x tend vers 0 :

( 1 + sin (x) )^(1/x)

je pensais que c'était 1, mais un graphique montre 2,7.....

Pourtant 1/x tend vers l'infini et sin(x) vers 0, il reste alors 1^infini qui est égale à 1. Pourquoi 2,7 ?

[zaze_le_gaz]

( 1 + sin (x) )^(1/x)=exp((1/x)ln( 1 + sin (x) )

[Skullkid]

Salut, en fait peut être considérée comme une forme indéterminée. Ton étonnement devant la valeur 2,7 laisse supposer que tu n'as pas encore vu les exponentielles en cours. De façon intuitive, tu sais que tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, donc il ne paraît pas invraisemblable qu'une quantité qui tend vers 1, élevée à une puissance qui tend vers l'infini puisse diverger vers l'infini. Il suffit que l'exposant tende "suffisamment vite" vers l'infini.

Pour être plus rigoureux, LA règle quand tu dois calculer une limite où il y a un exposant qui dépend de la variable, c'est de passer sous forme exponentielle. Ici : . Et à partir de cette forme, on peut prouver que la limite est un nombre qu'on notre traditionnellement e, et dont la valeur approchée est 2,71.

Dans le même genre, tend vers e quand x tend vers l'infini.

[MacErmite]

Merci pour ces réponses.

Mais je trouve toujours une indetermination de la forme inf/0, avec 1/0 et ln(1)=0 soit exp( (1/0)*ln(1))

[bend]

on considre deux fonction ,

f (x) = ln (1+x)-x et g(x) = ln(1+x)-x+x²/2 sur l'interval ]-1,1[

apres l'etude des variations :montrer que :

x-x²/2 < ln(1+x) < x

conclure que :
(sin(x) / x )- (sin²(x)/2x) <= (1/x) * (ln(1+sin(x)) <= sin(x)/x

deduire que la limitte recherchée egale à exp(1) = e~2,71

[Skullkid]

Tu as dû apprendre les limites classiques et quand x tend vers 0. Sers-t'en pour trouver la limite.

[MacErmite]

lim sin(x)/x qd x->0 est 1 (par encadrement sur le cercle trigo), puis lim ln(x+1)/x qd x->0 est 1 (définition de la dérivée).

Mais ln(1+sinx)/x est différent de ln (1+(sin x)/x) / x ... c'est toujours le brouillard pour moi

[Ben314]

tu peut écrire ln(1+sinx)/x = ln(1+sinx)/sin(x) . sin(x)/x
et, pour la première partie, tu pose y=sin(x)...

[MacErmite]

Effectivement la brume se leve. Je peux écrire que y -->0 parce que avec le changement de variable il doit y avoir une cohérence avec y = sin x ?

[Ben314]

Parfaitement,
tu dit que, si x->0 alors y=sin(x)->0 donc ln(1+sin(x))/sin(x)=ln(1+y)/y->1

Evidement, dans ce genre de "bricolage", il faut absolument vérifier que y->0 lorsque x->0 !!!!