Une limite, limite compliquée :-)

[tlzl]

Bonjour,

Je cherche



lim sin^2(-x) / cos(x)-cos(2x)
x->0


Je sais qu'il faut utiliser l'Hospital, mais impossible de trouve la réponse qui est soit disant 2/3

pouvez-vous m'aider?

[Memento]

Bonsoir,

tu peux simplifier

numerateur:

sin^2(-x) = sin^2(x)

derive(sin^2(x))=2cos(x)sin(x)= sin(2x)

denominateur:

derive(cos(x)-cos(2x))=-sin(x)+2sin(2x)

-------------------------------------------------

tu sais que au voisinage de zero

sin(x) -> x

tu obtient une fraction

2x/(-x+4x) = 2x/3x =2/3

@+

[Narhm]

Bonjour, alors
Tu dérives le numérateur ,.
Tu dérives le dénominateur , .

Ensuite tu peux utiliser une formule bien connue de la trigonométrie :
à savoir, .
Ce qui te permet de simplifier le dénominateur comme cela : puis par la suite de simplifier ta fraction par sin(x).
Tu as alors
.

A partir de la tout est fait, tu sais que la limite de cos (x) en 0 est 1.

Bref tu obtiens les résultats suivants: le numérateur tend vers 2 , et le dénominateur vers (4-1) soit 3.

Blian : .

[tlzl]

quand tu dis "puis par la suite de simplifier ta fraction par sin(x)", tu fais quoi comme opération pour tout simplement virer les sin(x) et ils passent où?

[Memento]

tu derive le numerateur:

N'(x)=sin^2(x)'=2sin(x)cos(x)

le denominateur:

D'(x)=(cos(x)-cos(2x))' = 2sin(2x) - sin(x)

avec
sin(2x)=2sin(x)cos(x)

tu simplifie le denominateur:

D'(x)= 4sin(x)cos(x) - sin(x)


D'ou: N'(x)/D'(x)=2sin(x)cos(x)/(4sin(x)cos(x)-sin(x))


et tu factorise le numerateur N(x) et le denominateur D(x) par sin(x) et tu simplifie, tu obtiens:


N'(x)/D'(x)=2cos(x)/(4cos(x)-1)


--------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------

Tu peux aussi essayer ma methode:

Numerateur

N(x)=sin^2(-x) = sin^2(x)

N'(x)=derive(sin^2(x))=2cos(x)sin(x)= sin(2x)

denominateur:

D'(x)=derive(cos(x)-cos(2x))=-sin(x)+2sin(2x)

Tu obtiens

N'(x)/D'(x)=sin(2x)/(-sin(x)+2sin(2x))

tu sais que au voisinage de zero

sin(x) -> x

tu obtient une fraction

N'(x)/D'(x)=2x/(-x+4x) = 2x/3x =2/3


@+

[tlzl]

tu as marqué 2cos(x)sin(x)= sin(2x)

c'est aussi une règle trigo?

[Memento]

Oui tout a fait,

Sin(2x)=2cos(x)sin(x)

cette relation trigo revient souvent quand tu souhaite faire des simplifications d'une expression trigo un peu compliquée , et trouver des limites,

Pour les limites une fois ton expression simplifiée, pense aussi à utiliser les limites des fonctions "usuelles"

sinx ~ x au voisinage de zero

etc
...

@+

[Narhm]

Pour les relations de trigo, en fait ce sont celles que tu as dues apprendre par exemple :
sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
et
cos(a+b) =cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b).

Apres tu peux faire pas mal de choses avec 2a=a+a...

Par contre, je ne crois pas qu'on enseigne les équivalents au lycée, par exemple sin(x)~x au voisinage de 0, non ? Apres ca se retrouve facilement avec le taux d'accroissement remarque mais c'est pas super immédiat du coup.

J'ai juste une derniere question, le theoreme de l'Hospital, ca s'apprend à partir du lycée aussi ?