Fonction limite d'une suite de fonction (DM de fou!)

[Anonyme]

Bonjour, j'ai un exercice avec comme fonction : fn(x)= 1/(1+x^n)
Je n'ai jamais vu ce genre de fonction. Elle est définie sur R+.
Quelle est la variable n ou x? Comment l'étudier.
J'ai plusieurs questions
1) a. Déterminer, pour n > ou = 1, les variations de fn.
Comment faire la dérivée de cette fonction? J'ai pensé à fn'(x)= -1/(1+x^n)²
b. Démontrer que les courbes Cn passent toutes par deux points fixes que l'on déterminera.
J'ai absolument aucune idée de comment faire, à quoi ressemble cette fonction, je peux la rentrer dans ma calculette?
c. Soient deux entiers n et m non nuls avec nComparer fn(x) et fm(x) selon les valeurs de x.
En déduire les positions relatives de Cn et Cm.
Faut-il faire varier aussi le n et le m ou uniquement le x?


Pour la suite j'essaierai de me débrouiller. :mur:

Merci d'avance et bonne journée.

[mcar0nd]

Bonjour, j'ai un exercice avec comme fonction : fn(x)= 1/(1+x^n)
Je n'ai jamais vu ce genre de fonction. Elle est définie sur R+.
Quelle est la variable n ou x? Comment l'étudier.
J'ai plusieurs questions
1) a. Déterminer, pour n > ou = 1, les variations de fn.
Comment faire la dérivée de cette fonction? J'ai pensé à fn'(x)= -1/(1+x^n)²
b. Démontrer que les courbes Cn passent toutes par deux points fixes que l'on déterminera.
J'ai absolument aucune idée de comment faire, à quoi ressemble cette fonction, je peux la rentrer dans ma calculette?
c. Soient deux entiers n et m non nuls avec n<m
Comparer fn(x) et fm(x) selon les valeurs de x.
En déduire les positions relatives de Cn et Cm.
Faut-il faire varier aussi le n et le m ou uniquement le x?


Pour la suite j'essaierai de me débrouiller. :mur:

Merci d'avance et bonne journée.

Salut,la variable de ta fonction c'est x.
Alors ta fonction est de la forme où . Quelle est la dérivée d'une fonction de cette forme?

[Anonyme]

ça serait -u'/u² donc -(nx^n-1)/(1+x^n)² ?

[mcar0nd]

ça serait -u'/u² donc -(nx^n-1)/(1+x^n)² ?

Exactement, tu as ta dérivée.
Maintenant, il te faut le signe de f'(x). Pour ça, à mon avis, il faut que tu distingue 2 cas : n pair et n impair.
Commence lorsque n est pair, c'est un peu plus simple. LE signe de c'est simple. Ensuite, celui de n tu le connais.
Et celui de ? Est ce que tu as une idée?

[chombier]

ça serait -u'/u² donc -(nx^n-1)/(1+x^n)² ?

C'est ça. En fait tu as une famille de fonctions :



etc.

[Anonyme]

(1+x^n)² > 0
Pourquoi distinguer deux cas?
n est un entier naturel.
x^n-1 > 0 tant que n>= 1
La dérivé est négative à cause du - au dénominateur donc la fonction fn est décroissante, c'est ça?
(Merci beaucoup de vos réponses)

[chombier]

(1+x^n)² > 0
Pourquoi distinguer deux cas?
n est un entier naturel.
x^n-1 > 0 tant que n>= 1
La dérivé est négative à cause du - au dénominateur donc la fonction fn est décroissante, c'est ça?
(Merci beaucoup de vos réponses)

Il faudrait distinguer deux cas si f_n était définie sur |R.
Comme elle est définie sur |R+, en effet, tu n'en as pas besoin

(1+x^n)² > 0 --> OK

x^n-1 > 0 tant que n>= 1 ---> NON

si x = 1/2, n = 1, (x^n-1) = (1/2-1) = -1/2

[mcar0nd]

Ah oui, j'avais pas fait attention que la fonction f était définie sur R+. :mur:
Pas besoin de distinguer deux cas alors. Merci chombier d'avoir corrigé mon erreur. ;)