Limite d'une fonction

par **destroyer82** » 01 Mai 2006, 18:36

Bonjour à tous.
Voila j'ai des doutes sur une limite, et je préfère vous demander de confirmer au cas ou ;)

lim exp(-x)ln[1+exp(x)] quand x tend vers - l'infini

Quand x tend vers - l'infini:
lim exp(-x)=+l'infini
lim ln[1+exp(x)]=0
C'est maintenant que survient mon incertitude
Je serait tenter de dire que la fonction exp(x) l'emporte sur ln(x) et que par conséquence lim exp(-x)ln[1+exp(x)]= + l'infini

Quelqu'un peut confirmer? ou infirmer?

par **Daragon geoffrey** » 01 Mai 2006, 18:47

tu es en présence d'une forme indéterminée, par ailleur si come tu le dis (et c juste), e^x l'emporte, alor tu obtients lim f =0 ! mé quoiquil en soit tu dois manipulerl'expression de f pour retomber sur une limite démontrer en cour ! @ +

par **destroyer82** » 01 Mai 2006, 19:22

euh si exp(-x) l'emporte sur ln(1+exp(x) alors c'est la limite de exp(-x) qui l'emporte, autrement dit c'est + l'infini quand x tend vers + l'infini ( sinon j'ai mal interpreter le terme 'emporter', explique moi s'il te plait, merci)

je vais essayer de travailelr l'expression alors

Sinon connais tu un programme pour PC capable de tracer des courbe? car ma casio graph 35+, n'est capable de calculer cette fonction que jusqu'au point 31...

par **Daragon geoffrey** » 01 Mai 2006, 19:27

reslt
c vrai excuse pour mon étourderie ! sinon perso je ne conné pas de programme sur PC pour tracer les courbes, dsl ! @ +

par **destroyer82** » 01 Mai 2006, 19:27

f(x)=exp(-x)ln[1+exp(x)]=ln[1+exp(x)]/exp(x)=ln[(1+exp(x))/exp(exp(x))]

Quand x tend vers - l'infini
lim (1+exp(x))/exp(exp(x)) = 1
lim ln X= 0 quand x tend vers 1
donc lim f(x) = 0 quand x tend vers - l'infini

je pense que c'est sa, une dernière confirmation?

( sa veut dire que j'ai mal compris la règle de exp l'emporte sur ln...)

par **rene38** » 01 Mai 2006, 23:02

Bonsoir

Pas eu le temps de chercher la démonstration mais plusieurs logiciels de calcul formel donnent :

par **pafab** » 01 Mai 2006, 23:51

ta manipulation de l'expression semble utiliser une formule du type ln(a/b)=ln(a)/ln(b) avec a= 1+exp(x) et b = exp(exp(x)), ce qui est absolument faux!!! Il faut trouver autre chose, mais peut être est il trop tard?

par **lln** » 02 Mai 2006, 00:05

Bonsoir,
Si tu as a fait les DL ou équivalent,

quand u tends vers 0, d'ou le résutat

Sinon
Tu poses

par **pafab** » 02 Mai 2006, 00:08

je confirme la limite proposée par rené38, à savoir 1. J'ai utilisé un développement limité de ln(1+t) au voisinage de zéro, mais je pense que ce n'est pas ce que tu attends.

Au moins, je suis sûr, car je l'ai démontré, que la limite est 1.
Voici la démonstration:
ln(1+t) = t - t²/2 + t²h(t) où h est une fonction telle que lim h en 0 = 0.

Si on pose t = exp(x) avec x tend vers -infini, on a bien t tend vers 0.

et exp(-x)ln(1+exp(x)) = ln(1+t)/t d'où ln(1+t)/t = 1 - t/2 + th(t). Quand t tend vers zéro, on a bien la limite 1.

ceci nous rassure quant à la valeur cherchée, mais il reste à trouver une démonstration avec des techniques plus élémentaires, mais là je vais me coucher. Il faut utiliser les limites du cours, du type ln(x)/x en + infini ou xexp(x) en -infini, quitte à faire un changment de variable.

Bon courage.

par **destroyer82** » 02 Mai 2006, 10:58

Oula la grosse groude que j'ai faite^^

Sinon je vous remercie

Je pense que la solution de lln me satisfait emplement, vu qu'on a étudier cette limite la en classe. Merci pour la composé de fonction !!

par **Mikou** » 02 Mai 2006, 11:19

salut je te donne deux methodes :

1°) term s

on pose e^x = X lim e^x en -infini = 0
on cherche donc

que lon peut voir comme

soit le nombre derivé de ln(1+x) en 0 qui vaut ... 1 !

2°) superieur
on utilise la regle de lhopital

en - infinie e^x = 0 donc lim = 1/(1+0) soit ...1 !

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