Limite de x*exp(x^2*(1/x-1)) en l'infini

[Krismu]

Bonjour,

Je m'inscris sur ce forum car, ayant un peu de temps, je (re)fais le programme de terminale S de mathématiques, avant tout par intérêt personnel.

Je tombe sur un exercice dont je ne suis pas sûr de la méthode à utiliser.

On cherche une limite:
en et

S'il est clair que le résultat est 0, exp(-x²) va l'emporter sur l'infini du x précédent, je n'arrive pas à le justifier par le calcul en me limitant au cours (c'est-à-dire que je ne veux pas utiliser L'Hopital). J'aimerai me ramener aux propriétés du cours donnant les limites en +et-inf de x*exp(x) ou (exp(x)-1)/x par exemple....

Une idée de la marche à suivre ?

Merci !

[Lostounet]

Salut,

Cette propriété s'appelle "les croissances comparées": la fonction exponentielle l'emporte sur toute puissance de x à l'infini.
Elle est bien au programme de TS

Pas besoin de la règle de l’Hôpital.

Voici une preuve possible:
La limite de: lorsque x tend vers + infini est de - l'infini

Donc , lorsque x tend vers l'infini, est de la forme "exp(-infini)" donc tend vers 0

Or:

[Krismu]

Merci !

Ceci dit, le chapitre sur les exponentielles précède celui sur les logarithmes, du coup je ne pense pas que ce soit la réponse attendue par ceux qui ont conçu l'exercice
A ce stade du cours, il n'est pas non plus encore fait mention de la croissance comparée.

Mais ça fait au moins une façon propre de répondre à la question

[Lostounet]

En même temps, tu veux calculer une limite faisant intervenir une forme "puissance*exponentielle"... je vois pas comment on pourrait faire systématiquement sans la propriété ET sans le logarithme... c'est se priver des outils adaptés

[Krismu]

En fait je suppose que l'exercice de base ne voulait pas aller si loin, j'ai sans doute cherché la petite bête, et j'en ai trouvé une grosse
Merci encore !

PS: la croissance comparée est "moins naturelle" à appliquer du fait que l'exponentielle est en "x²" et non en "x" tout court, je pense qu'on est pas censé trop se prendre la tête sur ce point

[Lostounet]

PS: la croissance comparée est "moins naturelle" à appliquer du fait que l'exponentielle est en "x²" et non en "x" tout court, je pense qu'on est pas censé trop se prendre la tête sur ce point

Le terme de croissances comparées s'applique à toute une famille d'expressions (que ce soit en exp(x^2), en ln(x)^3, etc.

[zygomatique]

salut



et il n'y a aucun pb à calculer les limites ...



ou avec les équivalents ... sachant que x^2/(x - 1) équivalent à x à l'infini ...

[Krismu]

Ah oui belle équivalence, je pense que c'est ce que je dois faire, merci beaucoup !

[Krismu]

Oups j'ai lu trop vite, je viens de réaliser que la puissance n'est pas celle que je recherche:

<- ce que je cherche

<- ta proposition

Je maîtrise pas trop l'utilisation du tag tex, du coup c'est plus lisible maintenant

[Krismu]

Bon on m'a donné une solution pas mal:



On étudie les 2 premiers termes, qui tendent vers 0, puis le dernier, vers 0 aussi, et ça doit être bon.

[zygomatique]

ha oui j'ai mal lu ton expression ... mais ton écriture participe de la même idée et donne la réponse sans pb .... en +oo (mais pas en -oo)

[anthony_unac]

Bon on m'a donné une solution pas mal:



On étudie les 2 premiers termes, qui tendent vers 0, puis le dernier, vers 0 aussi, et ça doit être bon.

Ne serait ce pas plutôt :

[Krismu]

ha oui j'ai mal lu ton expression ... mais ton écriture participe de la même idée et donne la réponse sans pb .... en +oo (mais pas en -oo)

En -oo c'est pas un soucis puisque est une limite connue, et tendra également vers 0. Mais merci encore pour la piste donnée

[Krismu]

Bon on m'a donné une solution pas mal:



On étudie les 2 premiers termes, qui tendent vers 0, puis le dernier, vers 0 aussi, et ça doit être bon.

Ne serait ce pas plutôt :

Oui absolument ! J'ai édité mon message