Limite, convergence

[Anonyme]

Si on sait qu'une suite de fonctions f_n converge (en l'occurrence, ma
suite est composee de normales dont l'ecart-type tend vers 0, donc la
limite est le dirac. J'arrive pas trop a dire pour quelle norme ca
converge. Convergence simple? J'ai pas beaucoup etudie les
distributions), peut-on dire que lim Int(f_n*g_n) = lim Int(f*g_n) ?

Vi, je sais, la question est probablement debile, mais je fais plus trop
ce genre de choses.

Gros poutous a tous en tout cas.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

>[color=green]
> > Si on sait qu'une suite de fonctions f_n converge (en l'occurrence, ma
> > suite est composee de normales dont l'ecart-type tend vers 0, donc la
> > limite est le dirac. J'arrive pas trop a dire pour quelle norme ca
> > converge. Convergence simple? J'ai pas beaucoup etudie les
> > distributions), peut-on dire que lim Int(f_n*g_n) = lim Int(f*g_n) ?
>[/color]

C'est vrai si (les conditions ne sont pas nécessaires) f et g convergent
uniformément *et* si f et g sont bornées (suffisant pour que fg soit
uniformément continues) *et* si ton intégrale est faite sur un segment.
Auquel cas on peut permuter limite et intégrale et:
lim int(f_n*g_n) = int(f*g) = lim int(f*g_n).

> En fait, la question plus generale est:
> Est-ce que si f_n et g_n convergent, lim_{n->\infinity} f_ng_n =
> lim_{n->\infinity} lim_{m->\infinity} f_ng_m ?
>

Là c'est trivialement vrai, non?

[Anonyme]

> C'est vrai si (les conditions ne sont pas nécessaires) f et g convergent
> uniformément *et* si f et g sont bornées (suffisant pour que fg soit
> uniformément continues) *et* si ton intégrale est faite sur un segment.

Je veux bien essayer de démontrer qu'un Dirac est uniformément continu,
mais je suis pas bien sûr d'y arriver.

> Auquel cas on peut permuter limite et intégrale et:
> lim int(f_n*g_n) = int(f*g) = lim int(f*g_n).

Je me souvenais encore de cette partie de mon cours de Spé.
[color=green]
> > En fait, la question plus generale est:
> > Est-ce que si f_n et g_n convergent, lim_{n->\infinity} f_ng_n =
> > lim_{n->\infinity} lim_{m->\infinity} f_ng_m ?
>
> Là c'est trivialement vrai, non?[/color]

Bon, a-t-on:
lim_{n->\infinity} 1/n Sum_{i=1}^n f(a_n) =
lim_{m->\infinity} lim_{n->\infinity} 1/n Sum_{i=1}^n f(a_m)?
sachant que pour chaque m, la limite en n->infini est définie

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
http://www.via.ecp.fr/~genji

[Anonyme]

[color=green]
> > lim_{n->\infinity} 1/n Sum_{i=1}^n f(a_n) =
> > lim_{m->\infinity} lim_{n->\infinity} 1/n Sum_{i=1}^n f(a_m)?
> > sachant que pour chaque m, la limite en n->infini est définie
>
> Si (a_n) converge vers a et que f est continue en a, c'est le théorème de
> Césaro ça...[/color]

Rah, je la refais. Remplacer f(a_n) par f(x,a_n). C'est une convergence
de fonction dont un argument (ici, l'écart-type d'une normale) est la
suite.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard
http://www.via.ecp.fr/~genji