Les Suites

[Erwan LR]

Bonjour à tous,
J'ai besoin d'aide pour un exercice sur les suites, et voici l'énoncé :
" On considère la suite U(n) définie pour tt n E N par :
U(0)=-1 et U(n+1)=Racine de(U(n)+6)

a- A l'aide de la calculatrice , conjecturer le comportement de la suite U(n)
b- Démontrer que la suite U(n) est croissante
c- Démontrer par récurrence que la suite U(n) est majorée par 3 ; que peut-on en déduire ?

Voilà où je suis arrivé,
la question a) c'est la calculatrice donc ça va
b) pour trouver si elle était croissante j'ai fait U(n+1)/U(n) mais ça ce corse, je symbolise la racine carré par un V, ca fait donc : V(U(n)+6) / U(n) = V(U(n)+6) * 1/U(n)
je ne vois pas de simplification possible et je ne trouve pas qu'elle est croissante, alors que je devrais trouver un nombre réel à comparer à 1 pour savoir si oui ou non elle est croissante

c ) Alors là je ne vois absolument pas, si elle est majorée par 3 et qu'elle est croissante ( cf questions précédentes ) je suppose que la suite va tendre vers 3 sans jamais l'atteindre, mais je ne vois pas comment le définir par récurrence, je suis bloqué à l'Initialisation..

Merci d'avance pour votre aide, Cordialement

[XENSECP]

L'idée est bonne de démontrer que .

Ca donne: .

Cette expression est supérieure à 1 si et seulement si (fonction carré croissante sur R+).
Soit:

soit

C'est vrai pour U0 mais je crains avoir empiéter sur la question d'après...

[Erwan LR]

d'accord je vois la façon de faire, mais ce que je comprend moins, c'est qu'il faut comparer U(n+1)/U(n) si c'est supérieur ou égale à 1, et au finale on retrouve U(n) compris entre -2 et 3 comment savoir ? puisqu'il peut aussi bien être négatif que positif ?

[XENSECP]

C'est le but de la récurrence de la question 3) en fait.

Du coup c'est un peu bizarre... Mais bon au final on y arrive donc peut-être faire la question 3 avant la question 2 puisque c'est lié ?

[Erwan LR]

D'accord je comprend un peu mieux le raisonnement,
en montrant que U(n) est toujours inférieur à 3, elle est donc majorée par 3.
Et ensuite on revient sur les variations.

[Erwan LR]

Oui je n'avais pas vu les choses ainsi, je n'avais pas pensé à changer l'ordre des questions. Et comme on commence tout juste les majorations, minorations je ne savais pas comment m'y prendre

[triumph59]

Bonjour,

Ce qui serait intéressant c'est que tu nous donnes ton résultat pour la question a) afin de vérifier ce que tu as trouvé ?

Modifier l'ordre des questions ?? c'est toujours bizarre de devoir en arriver là

[XENSECP]

Au final ça revient à étudier les variations de

[Erwan LR]

Mon résultat ? j'ai juste essayé de taper la suite à la calculatrice et d'observer graphiquement. J'ai conjecturer qu'elle était croissante
Oui je pense bien que si les questions sont dans cette ordre là il y a une raison, mais si en montrant par récurrence qu'elle est croissante, alors on peut faire ainsi ?

[chan79]

salut
Je pense comme XENSECP qu'en commençant par majorer la suite par 3, c'est facile de montrer ensuite la croissance.
Sinon, si tu supposes tu utilises la croissance de la fonction f citée ci-dessus et tu as .
Mais il faut vérifier l'initialisation pour conclure à la croissance de la suite

[Erwan LR]

si je fais U(n+1) supérieur à U(n) j'aurais donc U(n+2) supérieur à U(n+1), mais j'aurais au finale la meme chose qu'en utilisant la majoration non ?
je suis désolé j'ai un peu de mal a tout comprendre comment faire

[chan79]

si je fais U(n+1) supérieur à U(n) j'aurais donc U(n+2) supérieur à U(n+1)

oui car la fonction f est croissante
et si tu vérifies que U(1)>U(0), tu as donc pour tout n: U(n+1)>U(n)

[Erwan LR]

d'accord ca y est j'ai compris ! Merci beaucoup pour votre aide à tous