Les suites ;(

[so213]

Bonjour à tous, je rencontre un problème dans de nombreux exercices, en effet j'aimerai s'avoir: sachant qu'on nous donne une suite arithmétique ou géométrie (avec des donnés chiffrés) comment on peut à partir de cela déterminer u(n) en fonction de n et ainsi déterminer le terme général; voilà résoudre ce problème serait un très grand poids en moins car je le trouve dans beaucoup d'exercices, merci à ceux qui pourront m'aider :/

[titine]

Bonjour à tous, je rencontre un problème dans de nombreux exercices, en effet j'aimerai s'avoir: sachant qu'on nous donne une suite arithmétique ou géométrie (avec des donnés chiffrés) comment on peut à partir de cela déterminer u(n) en fonction de n et ainsi déterminer le terme général; voilà résoudre ce problème serait un très grand poids en moins car je le trouve dans beaucoup d'exercices, merci à ceux qui pourront m'aider :/

Je suppose que ceci est dans ton cours !

Si (u(n)) est une suite arithmétique de premier terme u(0) et de raison r alors u(n) = u(0) + n*r
C'est logique car :
u(1) = u(0) + r
u(2) = u(1) + r = u(0) + r + r = u(0) + 2r
u(3) = u(2) + r = u(0) + 2r + r = u(0) + 3r
......
De manière générale pour calculer u(n) on prend le 1er terme (u(0)) et on ajoute n fois la raison.
D'accord ?

De même , si (u(n)) est une suite géométrique de raison q alors :
u(n) = u(0) * q * q * q ... = u(0) * q^n

[so213]

Je suppose que ceci est dans ton cours !

Si (u(n)) est une suite arithmétique de premier terme u(0) et de raison r alors u(n) = u(0) + n*r
C'est logique car :
u(1) = u(0) + r
u(2) = u(1) + r = u(0) + r + r = u(0) + 2r
u(3) = u(2) + r = u(0) + 2r + r = u(0) + 3r
......
De manière générale pour calculer u(n) on prend le 1er terme (u(0)) et on ajoute n fois la raison.
D'accord ?

De même , si (u(n)) est une suite géométrique de raison q alors :
u(n) = u(0) * q * q * q ... = u(0) * q^n

Effectivement, je connais bien ces deux formules :ptdr: Mais je n'arrive pas à l'appliquer judicieusement , je prend un exemple d'un exo
" On considère la suite u définie par :
u(0)=3 et pour tout entier naturel n u(n+1)=2u(n)-1.
Calculer les six premiers termes de la suite. Emettre une conjecture concernant l'expression de u(n)
en fonction de n. Démontrer là "" Calculer les 6 premiers termes ne me pose pas de problème :lol3:
u0=3
u1=5
u2=9
u3=17
u4=33
u5=65
u6=129

JE n'arrive à trouver comment passer d'un terme à l'autre, par exemple si elle arithmétique , je fais u1 - u0 mais je ne trouve pas la même raison à chaque fois donc elle n'est pas arithmétique et pareillement si c'est une suite geo avec u1/u0 :mur:
En tout cas merci de chercher à m'aider :we:

[titine]

Effectivement, je connais bien ces deux formules :ptdr: Mais je n'arrive pas à l'appliquer judicieusement , je prend un exemple d'un exo
" On considère la suite u définie par :
u(0)=3 et pour tout entier naturel n u(n+1)=2u(n)-1.
Calculer les six premiers termes de la suite. Emettre une conjecture concernant l'expression de u(n)
en fonction de n. Démontrer là "" Calculer les 6 premiers termes ne me pose pas de problème :lol3:
u0=3
u1=5
u2=9
u3=17
u4=33
u5=65
u6=129

JE n'arrive à trouver comment passer d'un terme à l'autre, par exemple si elle arithmétique , je fais u1 - u0 mais je ne trouve pas la même raison à chaque fois donc elle n'est pas arithmétique et pareillement si c'est une suite geo avec u1/u0 :mur:
En tout cas merci de chercher à m'aider :we:

Ah, d'accord.
Cette suite n'est ni arithmétique , ni géométrique , donc tu ne peux pas utiliser les formules.
Pour la conjecture, tu peux remarquer que :
u0=3=2+1
u1=5=4+1
u2=9=8+1
u3=17=16+1
u4=33=32+1
u5=65=64+1
Donc de manière générale u(n) = ....

[so213]

Ah, d'accord.
Cette suite n'est ni arithmétique , ni géométrique , donc tu ne peux pas utiliser les formules.
Pour la conjecture, tu peux remarquer que :
u0=3=2+1
u1=5=4+1
u2=9=8+1
u3=17=16+1
u4=33=32+1
u5=65=64+1
Donc de manière générale u(n) = ....

Heu... de manière général ça nous donne u(n)= 2^n+1 ??

[titine]

Heu... de manière général ça nous donne u(n)= 2^n+1 ??

Plutôt u(n) = 2^(n+1) + 1

[so213]

Plutôt u(n) = 2^(n+1) + 1

Effectivement :we: après cela comment puis-je le démontrer ??

[titine]

Effectivement :we: après cela comment puis-je le démontrer ??

Là , je suis un peu embêté ... Tu as vu la démonstration par récurrence ?

[so213]

Là , je suis un peu embêté ... Tu as vu la démonstration par récurrence ?

J'ai vu les formule de récurrence et j'ai travaillé dessus après une démonstration à proprement dit , je ne sais pas trop mais je serais ravi que tu me l'énonces

[titine]

Sinon , tu peux remarquer que la suite (v(n)) définie par v(n) = u(n) - 1 semble être géométrique.
En effet :
v0) = 3-1 = 2
v(1) = 5-1 = 4
v(2) = 9-1 = 8
On peut le démontrer car :
Si v(n) = u(n) - 1 alors v(n+1) = u(n+1) - 1
Or u(n+1) = 2u(n) - 1
Donc v(n+1) = 2u(n) - 1 - 1 = 2u(n) - 2 = 2(u(n) - 1) = 2v(n)
Donc (v(n)) est une suite géométrique de raison 2.
Donc v(n) = v(0) * 2^n
Or v(0) = u(0) - 1 = 3 - 1 = 2
Donc v(n) = 2 * 2^n = 2^(n+1)
Et comme v(n) = u(n) - 1 alors u(n) = v(n) + 1
Donc u(n) = 2^(n+1) + 1

[so213]

Sinon , tu peux remarquer que la suite (v(n)) définie par v(n) = u(n) - 1 semble être géométrique.
En effet :
v0) = 3-1 = 2
v(1) = 5-1 = 4
v(2) = 9-1 = 8
On peut le démontrer car :
Si v(n) = u(n) - 1 alors v(n+1) = u(n+1) - 1
Or u(n+1) = 2u(n) - 1
Donc v(n+1) = 2u(n) - 1 - 1 = 2u(n) - 2 = 2(u(n) - 1) = 2v(n)
Donc (v(n)) est une suite géométrique de raison 2.
Donc v(n) = v(0) * 2^n
Or v(0) = u(0) - 1 = 3 - 1 = 2
Donc v(n) = 2 * 2^n = 2^(n+1)
Et comme v(n) = u(n) - 1 alors u(n) = v(n) + 1
Donc u(n) = 2^(n+1) + 1

Wahou :we: Mais le problème c'est que je sais pas si en contrôle j'aurai pu trouvé cela de moi même Comment as tu pu voir directement que v(n) = u(n) - 1 ?