Les suites

[lexioou]

Bonjour, j'ai quelques problèmes avec ces exercices si quelqu'un pouvait m'aider ... Je lui serait très reconnaissant : Voici les exos' :

1ère exercice : Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, n²-n+4 est un nombre entier pair.

2ème exercice : Démontrer par récurrence que pour tout entier n > ou égal à 1, 1²+2²+3²+ ... + n²=[n(n+1)(2n+1)]/6

3ème exercice : Démontrer par récurrence que pour tout entier n > ou égal à 1, 1^3+2^3+3^3+ ... + n^3= [(n(n+1))/2]²

Merci beaucoup de votre aide, elle me sera très précieuse

[Rebelle_]

Hello :)

Pour la première pourquoi utiliser la récurrence ? Il ne me semble d'ailleurs pas que cela soit une suite :)

Pour la seconde c'est plutôt classique, as-tu essayé d'initialiser au moins ? C'est un peu pareil pour la dernière.

[lexioou]

Justement je me posais des questions pour le 1er exo, puisque l'énoncé est dit comme tel, et donc j'ai essayé & ça me donne un peu n'importe quoi !
Après qu'entends tu par initialiser ?

[Rebelle_]

Un nombre pair est de la forme 2k. Il te faut étudier deux cas : soit n est pair soit il est impair, c'est-à-dire n = 2k ou n = 2k+1 (k dans N). Tu pourras alors conclure sur la parité de n² - n + 4.

Sais-tu ce qu'est le raisonnement par récurrence ?

[lexioou]

Oui mais j'ai énormément de mal à l'appliquer sur les exercices ! Parce que là, quand j'ai pas Un+1 et la valeur donnée je suis totalement perdue ! :o

[Mortelune]

Bonsoir.

S'il faut démontrer le premier exercice par récurrence allons y.

On souhaite démontrer la propriété P(n) : "n²-n+4 est pair"

P(0) est vraie immédiatement.

Faire l'hérédité (P(n)=> P(n+1)) est aussi à peu près immédiat.

Tout comme les autres questions, ton problème a l'air d'être de poser ta propriété à montrer alors que c'est une simple transcription de l'énoncé :)

[lexioou]

Mais après on fait pas Pn+1= 2p ( nombre pair ) ? Je vois pas comment on fait pour prouver que c'est un nombre pair ?

[Mortelune]

L'hérédité commence comme ça :
P(n) est vraie donc n²-n+4 est pair.
Montrons que P(n+1) est vraie donc montrons que (n+1)²-(n+1)+4 est pair, on développe et en utilisant P(n) c'est fini.

[lexioou]

Donc je trouve n²+n+4. C'est ca ? & a partir de la je fais quoi ?

[Mortelune]

Tu as trop simplifié, on trouve :
n²+2n+1-n-1+4=(n²-n+4)+2n là tu peux en tirer quelque chose plus rapidement.

[lexioou]

Ah d'accord ! Ah la ca devient plus simple :D Donc la somme de deux nombre pair est pair !
Merci bcp pour ton aide, je vais essayer de faire la suite des exos