Les nombres repunits

[paon]

Les nombres qui ne s'écrivent qu'avec des chiffres de 1 comme 1,11,111.. sont appelés des repunits.
on peut observer que 11 est un nombre premier mais qu'il faut aller jusqu'à 111..11 (19fois 1) pour retrouver un repunit qui est nombre premier.

pour k sitrictement positif, on note Nk le repunit qui s'écrit à l'aide de k chiffres de 1.
ainsi :
N1 = 1
N2 = 11
N3 = 111 ...

1/ citer deux nombres premeirs inférieurs à 10 n'apparaissant jamais dans la décomposition d'un repunit.
justifier brièvement.

2/ a quelle condition sur k le nombre 3 apparait-il dans la décomposition en facteurs premiers du repunits Nk?
Justifier brièvement

3/ pour tout entier naturel k non nul, le repunit Nk est défini par :
Nk = 1 + 10 + 10^2+ ... + 10^(k-1)

justifier que pour tout k appartenant aux entiers naturels

9Nk = 10^k - 1

4/ déterminer les restes de la division euclidienne de 10^k par 7 pour k appartenant à {1,2,...8}

5/ soit k appartient aux entiers naturels
démontrer que :
10^k est congru à 1 modulo 7
ssi k est un multiple de 6. en déduire que le nombre 7 apparait dans la décomposition en facteurs premiers du repunit Nk ssi k est un multiple de 6.



Merci d'avance de m'aider, je n'y comprend vraiment pas grand chose !

:triste: